Let a be a nonzero vector in $$ \mathbb{R}^{2} $$. Define $$ \tau_{\mathbf{a}}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ by $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x})=-\mathbf{x}+2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} \text {. } $$ 2. Let a be a nonzero vector of $$ \mathbb{R}^{2} $$. Answer the following questions. (ii) Write $$ \mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right) $$ and let $$ \mathbf{b}=\left(-a_{2}, a_{1}\right) \in \mathbb{R}^{2} $$. Show that $$ \mathcal{B}=\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$ is a basis for $$ \mathbb{R}^{2} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

벡터 $$ \mathbf{a} = (a_1, a_2) $$가 $$ \mathbb{R}^2 $$의 비영벡터라고 가정하겠습니다. 이제 $$ \mathbf{b} = (-a_2, a_1) $$를 정의합니다. $$ \mathcal{B} = \{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$가 $$ \mathbb{R}^2 $$의 기저가 되기 위해서는 두 벡터가 선형 독립이어야 합니다.

두 벡터 $$ \mathbf{a} $$와 $$ \mathbf{b} $$가 선형 독립임을 보이기 위해, 다음과 같은 선형 결합이 0 벡터가 되는 경우를 고려합니다:

$$
c_1 \mathbf{a} + c_2 \mathbf{b} = \mathbf{0}
$$

여기서 $$ c_1, c_2 $$는 스칼라입니다. 이를 전개하면 다음과 같습니다:

$$
c_1 (a_1, a_2) + c_2 (-a_2, a_1) = (0, 0)
$$

이 식을 성분별로 나누면 다음과 같은 두 개의 방정식을 얻습니다:

1. $$ c_1 a_1 - c_2 a_2 = 0 $$
2. $$ c_1 a_2 + c_2 a_1 = 0 $$

이제 이 두 방정식을 풀어보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 $$ c_1 a_1 = c_2 a_2 $$를 얻을 수 있습니다. 두 번째 방정식에서 $$ c_1 a_2 = -c_2 a_1 $$를 얻을 수 있습니다.

첫 번째 방정식에서 $$ c_2 = \frac{c_1 a_1}{a_2} $$ (단, $$ a_2 \neq 0 $$일 때)로 대체하면 두 번째 방정식에 대입할 수 있습니다. 그러나 $$ \mathbf{a} $$가 비영벡터이므로 $$ a_1 $$과 $$ a_2 $$ 중 하나는 0이 아닙니다. 따라서 두 번째 방정식은 다음과 같이 변형됩니다:

$$
c_1 a_2 - \frac{c_1 a_1}{a_2} a_1 = 0
$$

이 식을 정리하면:

$$
c_1 (a_2^2 + a_1^2) = 0
$$

여기서 $$ a_2^2 + a_1^2 $$는 0이 아니므로 $$ c_1 = 0 $$이 됩니다. 이제 $$ c_1 = 0 $$을 첫 번째 방정식에 대입하면 $$ c_2 = 0 $$도 얻을 수 있습니다.

따라서 $$ c_1 = 0 $$과 $$ c_2 = 0 $$만이 이 선형 결합이 0 벡터가 되는 경우임을 알 수 있습니다. 이는 $$ \mathbf{a} $$와 $$ \mathbf{b} $$가 선형 독립임을 의미합니다.

결론적으로, $$ \mathcal{B} = \{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$는 $$ \mathbb{R}^2 $$의 기저가 됩니다.
벡터 $$ \mathbf{a} $$와 $$ \mathbf{b} $$가 선형 독립이므로, $$ \mathcal{B} = \{\mathbf{a}, \mathbf{b}\} $$는 $$ \mathbb{R}^2 $$의 기저입니다.

Let a be a nonzero vector in . Define by

Let a be a nonzero vector of . Answer the following questions.
(ii) Write and let . Show that is a basis
for .

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