3 Die Anzahl \( f \) der durch einen neuen Virus befallenen Computer wird durch die Gief. chung \( f(x)=500 \cdot 1,3^{x} \) angegeben ( \( x \) in Stunden). a) Ermitteln Sie die Gleichung der entsprechenden e-Funktion. Berechnen Sie mithilfe dieser e-Funktion, b) wie viele Computer innerhalb von 10 Stunden infiziert sind. c) den Zeitpunkt, zu dem 10000 Computer durch den Virus infiziert sind.

Um die Gleichung der entsprechenden e-Funktion zu ermitteln, beginnen wir mit der gegebenen Funktion \( f(x) = 500 \cdot 1,3^{x} \). Wir wissen, dass \( 1,3 \) als Basis für exponentielles Wachstum verwendet wird. Um die e-Funktion zu erstellen, können wir die Basis umformen: \( 1,3 = e^{\ln(1,3)} \). Somit wird die Funktion: \[ f(x) = 500 \cdot e^{x \cdot \ln(1,3)} \] b) Um die Anzahl der infizierten Computer nach 10 Stunden zu berechnen, setzen wir \( x = 10 \) in die ursprüngliche Funktion ein: \[ f(10) = 500 \cdot 1,3^{10} \approx 500 \cdot 13,79 \approx 6895 \] Also sind nach 10 Stunden etwa 6895 Computer infiziert. c) Um den Zeitpunkt zu ermitteln, zu dem 10000 Computer infiziert sind, setzen wir \( f(x) = 10000 \) und lösen die Gleichung: \[ 10000 = 500 \cdot 1,3^{x} \] Teilen durch 500 gibt: \[ 20 = 1,3^{x} \] Um \( x \) zu isolieren, verwenden wir den Logarithmus: \[ x = \frac{\ln(20)}{\ln(1,3)} \] Das ergibt ungefähre 37,32. Damit benötigen die Computer etwa 37,32 Stunden, um 10000 infiziert zu sein.