ELIPSI POISCI TENENA, GORISEA IN SREDISCE i.) \( 9 x^{2}+16 y^{2}+36 x+160 y+292=0 \)

Za da bismo prepisali ovu kvadratnu jednačinu elipse u standardnom obliku, prvo ćemo je preurediti i pojednostaviti. Prvi korak je grupisanje članova prema \( x \) i \( y \): \[ 9x^2 + 36x + 16y^2 + 160y + 292 = 0 \] Sada ćemo premestiti konstantu na drugu stranu: \[ 9x^2 + 36x + 16y^2 + 160y = -292 \] Sledeći korak je da skupimo kvadratne članove. Prvo ćemo faktorisati \( 9 \) iz izraza sa \( x \): \[ 9(x^2 + 4x) + 16(y^2 + 10y) = -292 \] Sada primenjujemo metodu dovršavanja kvadrata. Za \( x^2 + 4x \), dodajemo \( 4 \) unutar zagrade i oduzimamo \( 36 \) (9 x 4) da bismo zadržali jednakost. Takođe, za \( y^2 + 10y \), dodajemo \( 25 \) unutar zagrade i oduzimamo \( 400 \) (16 x 25). Nakon ovih koraka, dobijamo: \[ 9\left((x+2)^2 - 4\right) + 16\left((y+5)^2 - 25\right) = -292 \] Kada sve ovo pojednostavimo, dobijemo: \[ 9(x+2)^2 + 16(y+5)^2 - 36 - 400 = -292 \] Odavde se rešava: \[ 9(x+2)^2 + 16(y+5)^2 = -292 + 436 \] Na kraju dobijamo: \[ 9(x+2)^2 + 16(y+5)^2 = 144 \] Kada podelimo celu jednačinu sa 144, dobijamo standardni oblik elipse: \[ \frac{(x+2)^2}{16} + \frac{(y+5)^2}{9} = 1 \] Ovde su korisni podaci potrebni za analizu elipse, koja ima centar u tački (-2, -5), poluosi 4 (za \(x\)) i 3 (za \(y\)).