UNIDAD I: DIFERENCIALES 1.1. Aproximaciones por recta tangente. Funciones puntuales y no puntuales. Cambio de una función y notación. Diferencial de una función y notación. Comparación de $$ \Delta y $$ y dy. Cálculo de diferenciales. Fórmulas diferenciales. Diferencial de una función compuesta. Aproximación de los valores de una función,

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# UNIDAD I: DIFERENCIALES

## 1.1. Aproximaciones por recta tangente

### Recta Tangente
La recta tangente a una función en un punto específico es la línea recta que "toca" la curva de la función en ese punto y tiene la misma pendiente que la función en ese punto. Esta aproximación lineal se utiliza para estimar valores de la función cercanos al punto de tangencia.

**Ecuación de la recta tangente:**
Si $$ f $$ es una función diferenciable en $$ x = a $$, la recta tangente en $$ x = a $$ está dada por:
$$ y = f(a) + f'(a)(x - a) $$

### Aproximación Lineal
La aproximación lineal utiliza la recta tangente para estimar valores de la función cerca de $$ x = a $$:
$$ \Delta y \approx dy = f'(a) \Delta x $$
donde $$ \Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) $$ y $$ dy $$ es el diferencial de $$ y $$.

## Funciones Puntuales y No Puntuales

### Funciones Puntuales
Son aquellas que están definidas en puntos específicos del dominio. Por ejemplo, $$ f(x) $$ definida solo en $$ x = a $$.

### Funciones No Puntuales
Son funciones definidas en intervalos completos de su dominio, no restringidas a puntos individuales.

## Cambio de una Función y Notación

### Cambio de una Función
Se refiere a cómo varía la función $$ y = f(x) $$ cuando $$ x $$ cambia en una pequeña cantidad $$ \Delta x $$.

### Notación
- Cambio en $$ y $$: $$ \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $$
- Diferencial de $$ y $$: $$ dy = f'(x) \, dx $$, donde $$ dx = \Delta x $$ es una pequeña variación en $$ x $$.

## Diferencial de una Función y Notación

El diferencial $$ dy $$ representa una aproximación lineal al cambio en $$ y $$ asociado a un pequeño cambio $$ dx $$ en $$ x $$.

$$ dy = f'(x) \, dx $$

## Comparación de $$ \Delta y $$ y $$ dy $$

- **$$ \Delta y $$**: Cambio real en $$ y $$ cuando $$ x $$ cambia en $$ \Delta x $$.
- **$$ dy $$**: Aproximación lineal al cambio en $$ y $$ para un cambio infinitesimal $$ dx $$.

Para pequeños valores de $$ \Delta x $$, $$ dy $$ es una buena aproximación de $$ \Delta y $$. Sin embargo, para valores más grandes, la diferencia entre $$ \Delta y $$ y $$ dy $$ puede ser significativa debido a la curvatura de la función.

## Cálculo de Diferenciales

Para calcular el diferencial $$ dy $$ de una función $$ y = f(x) $$:

1. Derivar la función: $$ f'(x) $$.
2. Multiplicar por $$ dx $$: $$ dy = f'(x) \, dx $$.

**Ejemplo:**
Sea $$ y = x^2 $$.
$$ f'(x) = 2x $$
$$ dy = 2x \, dx $$

## Fórmulas Diferenciales

Algunas fórmulas diferenciales comunes incluyen:

- **Producto:** Si $$ y = u \cdot v $$,
  $$ dy = u \, dv + v \, du $$

- **Cociente:** Si $$ y = \frac{u}{v} $$,
  $$ dy = \frac{v \, du - u \, dv}{v^2} $$

- **Función Compuesta:** Si $$ y = f(g(x)) $$,
  $$ dy = f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx $$

## Diferencial de una Función Compuesta

Para una función compuesta $$ y = f(g(x)) $$, el diferencial se calcula aplicando la regla de la cadena:

$$ dy = f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx $$

**Ejemplo:**
Sea $$ y = \sin(x^2) $$,
$$ f(u) = \sin(u), \quad g(x) = x^2 $$
$$ f'(u) = \cos(u), \quad g'(x) = 2x $$
$$ dy = \cos(x^2) \cdot 2x \, dx $$

## Aproximación de los Valores de una Función

Utilizando la aproximación lineal, podemos estimar el valor de $$ f(x) $$ cerca de un punto $$ x = a $$:

$$ f(a + \Delta x) \approx f(a) + f'(a) \cdot \Delta x $$

**Ejemplo:**
Supongamos que queremos aproximar $$ \sqrt{4.1} $$. Tomamos $$ f(x) = \sqrt{x} $$, $$ a = 4 $$, $$ f(a) = 2 $$, y $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$.

$$ f'(4) = \frac{1}{4} $$
$$ \sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4} \cdot 0.1 = 2 + 0.025 = 2.025 $$

Este valor es una aproximación de $$ \sqrt{4.1} $$. El valor real es aproximadamente 2.024845673, lo que muestra que la aproximación lineal es bastante precisa para pequeños cambios en $$ x $$.

---

Este repaso abarca los conceptos básicos de diferenciales, la diferencia entre cambios reales y aproximaciones lineales, y cómo aplicar estos conceptos para aproximar valores de funciones. Es fundamental familiarizarse con estos conceptos para avanzar en el cálculo diferencial y sus aplicaciones.
# UNIDAD I: DIFERENCIALES ## 1.1. Aproximaciones por Recta Tangente - **Recta Tangente**: Es la línea que toca la curva de una función en un punto y tiene la misma pendiente que la función en ese punto. - **Aproximación Lineal**: Utiliza la recta tangente para estimar valores de la función cerca del punto de tangencia. ## Funciones Puntuales y No Puntuales - **Funciones Puntuales**: Definidas en puntos específicos. - **Funciones No Puntuales**: Definidas en intervalos completos. ## Cambio de una Función y Notación - **Cambio en $$ y $$**: $$ \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $$ - **Diferencial de $$ y $$**: $$ dy = f'(x) \, dx $$ ## Comparación de $$ \Delta y $$ y $$ dy $$ - $$ \Delta y $$: Cambio real en $$ y $$. - $$ dy $$: Aproximación lineal al cambio en $$ y $$ para un pequeño cambio $$ dx $$. ## Cálculo de Diferenciales 1. Derivar la función. 2. Multiplicar por $$ dx $$: $$ dy = f'(x) \, dx $$. **Ejemplo:** Si $$ y = x^2 $$, entonces $$ dy = 2x \, dx $$. ## Fórmulas Diferenciales - **Producto**: $$ dy = u \, dv + v \, du $$ - **Cociente**: $$ dy = \frac{v \, du - u \, dv}{v^2} $$ - **Función Compuesta**: $$ dy = f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx $$ ## Diferencial de una Función Compuesta Para $$ y = f(g(x)) $$, $$ dy = f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx $$. **Ejemplo:** Si $$ y = \sin(x^2) $$, entonces $$ dy = \cos(x^2) \cdot 2x \, dx $$. ## Aproximación de los Valores de una Función Usando la aproximación lineal: $$ f(a + \Delta x) \approx f(a) + f'(a) \cdot \Delta x $$ **Ejemplo:** Aproximar $$ \sqrt{4.1} $$: $$ \sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4} \cdot 0.1 = 2.025 $$ --- Este resumen cubre los conceptos básicos de diferenciales, cómo calcular y aplicar diferencial de funciones, y cómo usar la aproximación lineal para estimar valores de funciones.

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