Gibt es ein Rechteck mit einem Umfang von 20 cm und einer Fläche von $$ 20 \mathrm{~cm}^{2} $$ ?

Question

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Ja, es gibt ein Rechteck mit einem Umfang von 20 cm und einer Fläche von 20 cm². Um die Seitenlängen dieses Rechtecks zu bestimmen, können wir folgende Gleichungen aufstellen:

1. **Umfangsgleichung:**
   $$
   2x + 2y = 20 \quad \Rightarrow \quad x + y = 10
   $$
   
2. **Flächengleichung:**
   $$
   x \cdot y = 20
   $$

**Schrittweise Lösung:**

1. **Aus der Umfangsgleichung** können wir $$ y $$ in Abhängigkeit von $$ x $$ ausdrücken:
   $$
   y = 10 - x
   $$
   
2. **Setzen wir diese Beziehung in die Flächengleichung ein:**
   $$
   x \cdot (10 - x) = 20 \quad \Rightarrow \quad 10x - x^2 = 20
   $$
   
3. **Umstellen der Gleichung:**
   $$
   x^2 - 10x + 20 = 0
   $$
   
4. **Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel (Quadratische Formel):**
   $$
   x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2}
   $$
   
5. **Vereinfachen:**
   $$
   x = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 5 \pm \sqrt{5}
   $$
   
   Somit ergeben sich zwei mögliche Werte für $$ x $$:
   $$
   x_1 = 5 + \sqrt{5} \approx 7{,}24 \, \text{cm}
   $$
   $$
   x_2 = 5 - \sqrt{5} \approx 2{,}76 \, \text{cm}
   $$
   
6. **Berechnung von $$ y $$:**
   $$
   y = 10 - x
   $$
   
   Für $$ x_1 $$:
   $$
   y_1 = 10 - (5 + \sqrt{5}) = 5 - \sqrt{5} \approx 2{,}76 \, \text{cm}
   $$
   
   Für $$ x_2 $$:
   $$
   y_2 = 10 - (5 - \sqrt{5}) = 5 + \sqrt{5} \approx 7{,}24 \, \text{cm}
   $$
   
**Ergebnis:**

Das Rechteck hat die Seitenlängen von etwa **7,24 cm** und **2,76 cm**. Diese Werte erfüllen sowohl die Bedingungen für den Umfang als auch für die Fläche des Rechtecks.
Ja, es gibt ein Rechteck mit einem Umfang von 20 cm und einer Fläche von 20 cm². Die Seitenlängen sind etwa 7,24 cm und 2,76 cm.

Gibt es ein Rechteck mit einem Umfang von 20 cm und einer Fläche von \( 20 \mathrm{~cm}^{2} \) ?

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