Question
Задача 4. [1 балл] Вычислите \( x_{1} x_{2}^{3}+x_{2} x_{1}^{3} \). Уравнение \( 4 x^{2}-3 x-5=0 \) имеет два корня: \( x_{1} \) и \( x_{2} \). . Алгебра. Часть с развёрнутыми решениями В задачах 5-7 необходимо написать полные решения. ача 5. [1 балл] Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одном атетов равно \( 17: 8 \), а другой катет равен 30 . Найдите периметр треугольника. ча 6. [1 балл] Сравните \( \sqrt{7+\sqrt{20+\sqrt{14}}} \) и \( 1+\sqrt{6} \). a 7. [2 балла] Найдите все значения \( a \), при каждом из которых точка пересече \( y=5 x-2 a+10 \) и \( \quad v=2 x-5 a-14 \) шмам пппп....
Ask by Bowers Franklin. in Russia
Jan 21,2025
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
### Задача 4
**Вычислите \( x_{1} x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{3} \).**
Дано уравнение:
\[ 4x^{2} - 3x - 5 = 0 \]
Корни: \( x_{1} \) и \( x_{2} \).
Используя Виета:
\[
x_{1} + x_{2} = \frac{3}{4}, \quad x_{1} x_{2} = -\frac{5}{4}
\]
Вычисляем:
\[
x_{1} x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{3} = x_{1} x_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = \left(-\frac{5}{4}\right) \times \frac{49}{16} = -\frac{245}{64}
\]
**Ответ:** \( -\frac{245}{64} \)
---
### Задача 5
**Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно \( 17:8 \), а другой катет равен 30. Найдите периметр треугольника.**
Пусть:
- Один катет = \( 8k \)
- Гипотенуза = \( 17k \)
- Другой катет = 30
По теореме Пифагора:
\[
(8k)^2 + 30^2 = (17k)^2 \\
64k^2 + 900 = 289k^2 \\
289k^2 - 64k^2 = 900 \\
225k^2 = 900 \\
k^2 = 4 \\
k = 2
\]
Тогда:
- Катет = \( 8k = 16 \)
- Гипотенуза = \( 17k = 34 \)
Периметр:
\[
16 + 30 + 34 = 80
\]
**Ответ:** Периметр треугольника равен 80.
---
### Задача 6
**Сравните \( \sqrt{7 + \sqrt{20 + \sqrt{14}}} \) и \( 1 + \sqrt{6} \).**
Вычислим приближенные значения:
1. \( \sqrt{14} \approx 3.7417 \)
2. \( 20 + \sqrt{14} \approx 23.7417 \)
3. \( \sqrt{23.7417} \approx 4.8734 \)
4. \( 7 + \sqrt{20 + \sqrt{14}} \approx 11.8734 \)
5. \( \sqrt{11.8734} \approx 3.4472 \)
Теперь вычислим \( 1 + \sqrt{6} \):
\[
\sqrt{6} \approx 2.4495 \\
1 + \sqrt{6} \approx 3.4495
\]
Сравниваем:
\[
3.4472 < 3.4495
\]
**Ответ:** \( \sqrt{7 + \sqrt{20 + \sqrt{14}}} < 1 + \sqrt{6} \)
---
### Задача 7
**Найдите все значения \( a \), при которых точка пересечения \( y = 5x - 2a + 10 \) и \( v = 2x - 5a - 14 \) ...**
К сожалению, условие задачи 7 неполное или содержит опечатки. Пожалуйста, предоставьте полное и точное условие задачи, чтобы я смог помочь с её решением.
**Ответ:** Нехватает данных для решения задачи 7.
Solution
### Задача 4
**Вычислите \( x_{1} x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{3} \).**
Дано квадратное уравнение:
\[ 4x^{2} - 3x - 5 = 0 \]
Пусть корни этого уравнения — \( x_{1} \) и \( x_{2} \).
Используем соотношения Виета:
\[
x_{1} + x_{2} = \frac{3}{4}, \quad x_{1} x_{2} = -\frac{5}{4}
\]
Вычислим \( x_{1} x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{3} \):
\[
x_{1} x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{3} = x_{1} x_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})
\]
Сначала найдем \( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \):
\[
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left(\frac{3}{4}\right)^{2} - 2 \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{9}{16} + \frac{10}{4} = \frac{49}{16}
\]
Теперь:
\[
x_{1} x_{2}^{3} + x_{2} x_{1}^{3} = \left(-\frac{5}{4}\right) \times \frac{49}{16} = -\frac{245}{64}
\]
**Ответ:** \( -\frac{245}{64} \)
---
### Задача 5
**Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно \( 17:8 \), а другой катет равен 30. Найдите периметр треугольника.**
Пусть:
- Один катет = \( 8k \)
- Гипотенуза = \( 17k \)
- Другой катет = 30
По теореме Пифагора:
\[
(8k)^2 + 30^2 = (17k)^2 \\
64k^2 + 900 = 289k^2 \\
289k^2 - 64k^2 = 900 \\
225k^2 = 900 \\
k^2 = 4 \\
k = 2
\]
Тогда:
- Катет = \( 8k = 16 \)
- Гипотенуза = \( 17k = 34 \)
Периметр:
\[
16 + 30 + 34 = 80
\]
**Ответ:** Периметр треугольника равен 80.
---
### Задача 6
**Сравните \( \sqrt{7 + \sqrt{20 + \sqrt{14}}} \) и \( 1 + \sqrt{6} \).**
Вычислим приближенные значения:
1. \( \sqrt{14} \approx 3.7417 \)
2. \( 20 + \sqrt{14} \approx 23.7417 \)
3. \( \sqrt{23.7417} \approx 4.8734 \)
4. \( 7 + \sqrt{20 + \sqrt{14}} \approx 11.8734 \)
5. \( \sqrt{11.8734} \approx 3.4472 \)
Теперь вычислим \( 1 + \sqrt{6} \):
\[
\sqrt{6} \approx 2.4495 \\
1 + \sqrt{6} \approx 3.4495
\]
Сравниваем:
\[
3.4472 < 3.4495
\]
**Ответ:** \( \sqrt{7 + \sqrt{20 + \sqrt{14}}} < 1 + \sqrt{6} \)
---
### Задача 7
**Найдите все значения \( a \), при каждом из которых точка пересечения \( y = 5x - 2a + 10 \) и \( v = 2x - 5a - 14 \)...**
К сожалению, условие задачи 7 неполное или содержит опечатки ("шмам пппп...."). Пожалуйста, предоставьте полное и точное условие задачи, чтобы я смог помочь с её решением.
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Beyond the Answer
Чтобы вычислить \( x_{1} x_{2}^{3}+x_{2} x_{1}^{3} \), мы можем воспользоваться свойствами корней уравнения. Из приведенного уравнения \( 4x^{2}-3x-5=0 \) по теореме Виета, сумма корней \( x_1 + x_2 = \frac{3}{4} \) и произведение \( x_1 x_2 = \frac{-5}{4} \). Используя это, мы можем выразить \( x_{1} x_{2}^{3}+x_{2} x_{1}^{3} \) как \( (x_1 + x_2)(x_1 x_2)(x_1 + x_2) \) и подставить найденные значения. Чтобы решить задачу 5, сначала обозначим гипотенузу как \( c \), а катет, равный 30, как \( a \). Используя отношение гипотенузы к другому катету \( b \), можно выразить \( b \) через \( c \). Затем, применив теорему Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \), мы получим систему уравнений, решив которую, можно найти периметр треугольника.
