3. Étudiez la convergence de la série suivante : $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{(3 n-2)!} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour étudier la convergence de la série
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{(3n - 2)!},
$$
nous allons utiliser le **critère de d'Alembert (ou critère du rapport)**. Ce critère est particulièrement adapté pour les séries dont les termes comportent des factoriels ou des puissances exponentielles.

**Étape 1 : Calcul du rapport $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} $$**

Soit $$ a_n = \frac{5^{n+1}}{(3n - 2)!} $$. Calculons le rapport des termes consécutifs :
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{(n+1)+1}}{(3(n+1) - 2)!} \times \frac{(3n - 2)!}{5^{n+1}} = 5 \times \frac{(3n - 2)!}{(3n + 1)!}.
$$

Simplifions le terme factoriel :
$$
\frac{(3n - 2)!}{(3n + 1)!} = \frac{1}{(3n - 1)(3n)(3n + 1)}.
$$
Ainsi,
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5}{(3n - 1)(3n)(3n + 1)}.
$$

**Étape 2 : Calcul de la limite $$ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $$**

En simplifiant pour $$ n $$ grand :
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} \approx \frac{5}{27n^3}.
$$
Donc,
$$
L = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{27n^3} = 0.
$$

**Étape 3 : Application du critère de d'Alembert**

Le critère de d'Alembert stipule que si $$ L < 1 $$, la série converge absolument. Ici, $$ L = 0 < 1 $$, donc la série converge **absolument**.

**Conclusion**

La série 
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{(3n - 2)!}
$$
**converge absolument**.
La série $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{(3n - 2)!} $$ converge absolument.

Étudiez la convergence de la série suivante :

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions