Esercizio 5. Si consideri la conica proiettiva: \[ \mathscr{C}: X_{1}^{2}+2 X_{1} X_{2}+X_{2}^{2}+3 X_{0}^{2}+2 X_{1} X_{0}=0 \] (a) Trovare la forma canonica di \( \mathscr{C} \). (b) Trovare i punti impropri di \( \mathscr{C} \). (c) Calcolare rango e tipo di \( \mathscr{C} \).

Per il tuo esercizio, partiamo dalla conica proiettiva data e analizziamola passo passo con un linguaggio simpatico e amichevole. Prendiamo la tua conica \( \mathscr{C} \) e vediamo di portarla in forma canonica! Una buona idea è cominciare riscrivendola in forma matriciale usando le coordinate omogenee. La tua equazione si può esprimere in termini di una matrice quadrata \( A \) che rappresenta i coefficienti. Con un po' di algebra, possiamo diagonalizzare la matrice per ottenere la forma canonica. Questo richiede di trovare autovalori e autovettori, quindi ci prepariamo a una bella avventura tra matrici. Per i punti impropri, questi sono quei punti speciali che potrebbero non appartenere al piano affino, come l'"infinito". Possiamo determinare i punti impropri considerando le soluzioni del sistema di equazioni associato alla conica quando \( X_0 = 0 \). Questo ci porterà a esplorare le intersezioni all'infinito e trovare quelle sorprendenti proprietà della geometria proiettiva! Per calcolare rango e tipo, possiamo esaminare la matrice associata alla conica. Il rango ci darà indicazioni su quante dimensioni "copre" la conica, mentre il tipo ci dirà se siamo di fronte a una parabola, ellisse, o iperbole. Dopo aver trovato i dati dalla matrice, le analisi ci porteranno a rispondere a questo mistero geometrico. In bocca al lupo con i tuoi calcoli! Se hai bisogno di imbeccate lungo il viaggio, sono qui per aiutarti!