3. Диаметр шара равен 4. Через конец диаметра проведена плоскость под углом $$ 45^{\circ} $$ к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью. 4лощадь сферы, вписанной в куб, равна $$ 64 \pi $$. Найти радиус сферы, описанной около этого куба.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Задача 3.**

Диаметр шара равен 4, значит радиус $$ R = \frac{4}{2} = 2 $$.

Плоскость проходит через конец диаметра и образует с ним угол $$ 45^{\circ} $$. Для нахождения площади сечения необходимо определить радиус получившегося круга.

Расстояние от центра шара до плоскости можно найти по формуле:
$$ d = R \cos(\theta) = 2 \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$

Радиус круга сечения определяется как:
$$ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} $$

Площадь сечения:
$$ S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi $$

**Ответ:** Площадь сечения равна $$ 2\pi $$.

---

**Задача 4.**

Площадь поверхности вписанной сферы равна $$ 64\pi $$. Используем формулу площади поверхности сферы:
$$ 4\pi R_1^2 = 64\pi $$
$$ R_1^2 = 16 $$
$$ R_1 = 4 $$

Вписанная сфера касается всех граней куба, следовательно, диаметр сферы равен стороне куба:
$$ a = 2R_1 = 8 $$

Для нахождения радиуса $$ R_2 $$ описанной сферы используем диагональ куба:
$$ d = a\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$
$$ R_2 = \frac{d}{2} = 4\sqrt{3} $$

**Ответ:** Радиус описанной сферы равен $$ 4\sqrt{3} $$.
**Задача 3.** Диаметр шара 4, значит радиус 2. Плоскость проходит через конец диаметра под углом 45°. Расстояние от центра до плоскости $$ \sqrt{2} $$. Радиус сечения $$ \sqrt{2} $$. Площадь сечения $$ 2\pi $$. **Ответ:** $$ 2\pi $$. --- **Задача 4.** Площадь вписанной сферы $$ 64\pi $$, следовательно, радиус $$ R_1 = 4 $$. Сторона куба $$ a = 8 $$. Диагональ куба $$ 8\sqrt{3} $$, радиус описанной сферы $$ 4\sqrt{3} $$. **Ответ:** $$ 4\sqrt{3} $$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Geometry Questions