3.Calcular la derivada de la siguiente Funcion \( r(t)=(1+\operatorname{Cos} t) i+(2+ \) Sent \( ) j \quad t=\frac{\pi}{6} \) 1. Derivar cada função componente 2. Avalie a função derivada no parâmetro \( t=\frac{\pi}{6} \)

Para calcular a derivada da função vetorial \( r(t) = (1 + \cos t)\, \mathbf{i} + (2 + \sin t)\, \mathbf{j} \) no ponto \( t = \frac{\pi}{6} \), siga os passos abaixo: ### 1. Derivar cada componente da função A função \( r(t) \) possui duas componentes: - **Componente \( \mathbf{i} \):** \[ r_i(t) = 1 + \cos t \] A derivada em relação a \( t \) é: \[ \frac{dr_i}{dt} = -\sin t \] - **Componente \( \mathbf{j} \):** \[ r_j(t) = 2 + \sin t \] A derivada em relação a \( t \) é: \[ \frac{dr_j}{dt} = \cos t \] Portanto, a derivada da função vetorial é: \[ r'(t) = \frac{dr_i}{dt}\, \mathbf{i} + \frac{dr_j}{dt}\, \mathbf{j} = -\sin t\, \mathbf{i} + \cos t\, \mathbf{j} \] ### 2. Avaliar a derivada no parâmetro \( t = \frac{\pi}{6} \) Substituímos \( t = \frac{\pi}{6} \) nas derivadas das componentes: - **Para \( \mathbf{i} \):** \[ \frac{dr_i}{dt}\bigg|_{t = \frac{\pi}{6}} = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \] - **Para \( \mathbf{j} \):** \[ \frac{dr_j}{dt}\bigg|_{t = \frac{\pi}{6}} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Portanto, a derivada avaliada em \( t = \frac{\pi}{6} \) é: \[ r'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\, \mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\, \mathbf{j} \] **Resposta Final:** \[ r'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\, \mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\, \mathbf{j} \]