8.- Un vector de posición tiene las componentes \( x=34.6 m \) y \( y=-53.5 m \). Encuentra la magnitud del vector \( y \) su ángulo con el eje \( x \).

Para encontrar la magnitud del vector y su ángulo con el eje x, primero necesitamos calcular la magnitud del vector y luego determinar el ángulo que forma con el eje x. La magnitud de un vector se calcula utilizando la fórmula: \[ \text{Magnitud} = \sqrt{x^2 + y^2} \] Donde \( x \) y \( y \) son las componentes del vector. Dado que las componentes del vector son \( x = 34.6 \, m \) y \( y = -53.5 \, m \), podemos sustituir estos valores en la fórmula para calcular la magnitud del vector. Para determinar el ángulo que forma el vector con el eje x, utilizamos la fórmula del ángulo: \[ \text{Ángulo} = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \] Donde \( y \) es la componente del vector en el eje y y \( x \) es la componente del vector en el eje x. Vamos a calcular la magnitud del vector y luego determinar el ángulo con el eje x. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\sqrt{34.6^{2}+\left(-53.5\right)^{2}}\) - step1: Convert the expressions: \(\sqrt{\left(\frac{173}{5}\right)^{2}+\left(-53.5\right)^{2}}\) - step2: Convert the expressions: \(\sqrt{\left(\frac{173}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{107}{2}\right)^{2}}\) - step3: Add the numbers: \(\sqrt{\frac{405941}{100}}\) - step4: Use the properties of radicals: \(\frac{\sqrt{405941}}{\sqrt{100}}\) - step5: Simplify the expression: \(\frac{\sqrt{405941}}{10}\) La magnitud del vector es aproximadamente \( 63.713499 \, m \). Ahora, vamos a calcular el ángulo que forma el vector con el eje x. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\arctan\left(\frac{\left(-53.5\right)}{34.6}\right)\) - step1: Remove the parentheses: \(\arctan\left(\frac{-53.5}{34.6}\right)\) - step2: Divide the terms: \(\arctan\left(-\frac{535}{346}\right)\) El ángulo que forma el vector con el eje x es aproximadamente \( -0.996724 \) radianes. Por lo tanto, la magnitud del vector es aproximadamente \( 63.713499 \, m \) y el ángulo con el eje x es aproximadamente \( -0.996724 \) radianes.