15. \( y=\tan \left(\frac{2-x}{2+x}\right) \)

Para la función \( y = \tan \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) \), realizaremos un análisis detallado que incluye su dominio, rango, asíntotas y comportamiento general. ### 1. **Dominio de la Función** La función tangente está definida para todos los valores reales excepto donde su argumento es igual a \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), donde \( k \) es un número entero, ya que en estos puntos la tangente no está definida. Primero, identifiquemos las restricciones sobre el argumento de la tangente: \[ \frac{2 - x}{2 + x} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{para todo } k \in \mathbb{Z} \] Además, el denominador de la fracción original no debe ser cero: \[ 2 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \] Por lo tanto, el dominio de la función es: \[ \text{Dominio} = \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} \] ### 2. **Rango de la Función** La función tangente tiene un rango de todos los números reales, es decir: \[ \text{Rango} = \mathbb{R} \] ### 3. **Asíntotas Verticales** Las asíntotas verticales ocurren cuando el argumento de la tangente alcanza los valores \( \frac{\pi}{2} + k\pi \). Resolvamos para \( x \): \[ \frac{2 - x}{2 + x} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] Esta ecuación determinará los valores de \( x \) donde la función presenta asíntotas verticales. La solución dependerá del valor de \( k \). ### 4. **Comportamiento y Periodicidad** La función \( y = \tan(\theta) \) es periódica con un período de \( \pi \). Sin embargo, en este caso, el argumento de la tangente es una función racional que depende de \( x \), lo que puede afectar la periodicidad general de la función compuesta. ### 5. **Gráfica de la Función** Para graficar \( y = \tan \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) \): 1. **Identificar puntos clave** donde el argumento de la tangente alcanza valores que introducen asíntotas verticales. 2. **Determinar intervalos** entre las asíntotas y analizar el comportamiento de la función en cada intervalo. 3. **Dibujar las asíntotas verticales** en los valores de \( x \) encontrados. 4. **Trazar la curva** de la tangente en cada intervalo, recordando que la tangente pasa de \( -\infty \) a \( +\infty \) entre las asíntotas. ### 6. **Conclusión** La función \( y = \tan \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) \) es una función trigonométrica con propiedades complejas debido a que su argumento es una función racional. Su análisis requiere considerar las restricciones del dominio, identificar las asíntotas verticales y comprender su comportamiento periódico modificado.