15. $$ y= an \left(\frac{2-x}{2+x} ight) $$

Question

15. $$ y=	an \left(\frac{2-x}{2+x}ight) $$

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Para la función $$ y = \tan \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) $$, realizaremos un análisis detallado que incluye su dominio, rango, asíntotas y comportamiento general.

### 1. **Dominio de la Función**

La función tangente está definida para todos los valores reales excepto donde su argumento es igual a $$ \frac{\pi}{2} + k\pi $$, donde $$ k $$ es un número entero, ya que en estos puntos la tangente no está definida.

Primero, identifiquemos las restricciones sobre el argumento de la tangente:

$$ \frac{2 - x}{2 + x} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{para todo } k \in \mathbb{Z} $$

Además, el denominador de la fracción original no debe ser cero:

$$ 2 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $$

Por lo tanto, el dominio de la función es:

$$ \text{Dominio} = \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} $$

### 2. **Rango de la Función**

La función tangente tiene un rango de todos los números reales, es decir:

$$ \text{Rango} = \mathbb{R} $$

### 3. **Asíntotas Verticales**

Las asíntotas verticales ocurren cuando el argumento de la tangente alcanza los valores $$ \frac{\pi}{2} + k\pi $$. Resolvamos para $$ x $$:

$$ \frac{2 - x}{2 + x} = \frac{\pi}{2} + k\pi $$

Esta ecuación determinará los valores de $$ x $$ donde la función presenta asíntotas verticales. La solución dependerá del valor de $$ k $$.

### 4. **Comportamiento y Periodicidad**

La función $$ y = \tan(\theta) $$ es periódica con un período de $$ \pi $$. Sin embargo, en este caso, el argumento de la tangente es una función racional que depende de $$ x $$, lo que puede afectar la periodicidad general de la función compuesta.

### 5. **Gráfica de la Función**

Para graficar $$ y = \tan \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) $$:

1. **Identificar puntos clave** donde el argumento de la tangente alcanza valores que introducen asíntotas verticales.
2. **Determinar intervalos** entre las asíntotas y analizar el comportamiento de la función en cada intervalo.
3. **Dibujar las asíntotas verticales** en los valores de $$ x $$ encontrados.
4. **Trazar la curva** de la tangente en cada intervalo, recordando que la tangente pasa de $$ -\infty $$ a $$ +\infty $$ entre las asíntotas.

### 6. **Conclusión**

La función $$ y = \tan \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) $$ es una función trigonométrica con propiedades complejas debido a que su argumento es una función racional. Su análisis requiere considerar las restricciones del dominio, identificar las asíntotas verticales y comprender su comportamiento periódico modificado.
La función $$ y = \tan \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) $$ tiene un dominio de todos los números reales excepto $$ x = -2 $$. Su rango es todos los números reales. Tiene asíntotas verticales donde $$ \frac{2 - x}{2 + x} = \frac{\pi}{2} + k\pi $$ para cualquier entero $$ k $$. La función es periódica con un período modificado debido a la fracción en el argumento de la tangente. Para graficarla, identifica las asíntotas verticales y traza la curva de la tangente en cada intervalo entre ellas.

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