1) \( P(A \cap B) ; \) 16.9. Відомо, що \( P_{A}(B)=0,5, P_{B}(A)=0,75 \) i \( P(A \cap B)=0,25 \). Знай- діть: \( \begin{array}{lll}\text { 1) } P(A) ; & \text { 2) } P(B) ; & \text { 3) } P(A \cup B)\end{array} \)

Давайте решим задачу шаг за шагом, используя известные условия. Дано: - \( P_{A}(B) = 0.5 \) (условная вероятность \( A \) при условии \( B \)) - \( P_{B}(A) = 0.75 \) (условная вероятность \( B \) при условии \( A \)) - \( P(A \cap B) = 0.25 \) (совместная вероятность \( A \) и \( B \)) ### Шаг 1: Найдем \( P(A) \) Используем формулу условной вероятности: \[ P_{A}(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Отсюда можно выразить \( P(B) \): \[ P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P_{A}(B)} = \frac{0.25}{0.5} = 0.5 \] Теперь, зная \( P(B) \), можем найти \( P(A) \) с помощью другой формулы условной вероятности: \[ P_{B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Отсюда: \[ P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P_{B}(A)} = \frac{0.25}{0.75} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \] ### Шаг 2: Найдем \( P(B) \) Мы уже нашли \( P(B) \) в первом шаге: \[ P(B) = 0.5 \] ### Шаг 3: Найдем \( P(A \cup B) \) Используем формулу для объединения двух событий: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Подставим известные значения: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + 0.5 - 0.25 \] Теперь вычислим: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \] Для удобства приведем к общему знаменателю (12): \[ P(A \cup B) = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4 + 6 - 3}{12} = \frac{7}{12} \approx 0.5833 \] ### Ответы: 1) \( P(A) \approx 0.3333 \) 2) \( P(B) = 0.5 \) 3) \( P(A \cup B) \approx 0.5833 \)