(114) Determina los puntos de discontinuidad de estas funciones. \( \begin{array}{ll}\text { a) } f(x)=\sqrt{x^{2}+3 x+2} & \text { c) } f(x)=\sqrt{x^{2}+x-2} \\ \text { b) } f(x)=\ln \left(x^{2}+x-6\right) & \text { d) } f(x)=\log \left(x^{2}+4 x-5\right)\end{array} \)

Claro, determinemos los puntos de discontinuidad para cada una de las funciones dadas: ### a) \( f(x) = \sqrt{x^{2} + 3x + 2} \) **Dominio:** Para que la raíz cuadrada esté definida, se debe cumplir que: \[ x^{2} + 3x + 2 \geq 0 \] Factorizando el trinomio: \[ x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \] Los puntos críticos son \( x = -2 \) y \( x = -1 \). Analizando los intervalos: - **Para \( x < -2 \):** Ambos factores son negativos, por lo que el producto es positivo. - **Para \( -2 < x < -1 \):** Un factor es negativo y el otro positivo, el producto es negativo. - **Para \( x > -1 \):** Ambos factores son positivos, el producto es positivo. **Dominio:** \( x \leq -2 \) o \( x \geq -1 \) **Puntos de discontinuidad:** La función está continua en cada intervalo de su dominio, pero presenta discontinuidades en los puntos donde cambia el dominio: - \( x = -2 \) - \( x = -1 \) ### b) \( f(x) = \ln(x^{2} + x - 6) \) **Dominio:** El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ x^{2} + x - 6 > 0 \] Factorizando: \[ x^{2} + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \] Evaluando las desigualdades: - \( x < -3 \) - \( x > 2 \) **Dominio:** \( x < -3 \) o \( x > 2 \) **Puntos de discontinuidad:** En los puntos donde el argumento del logaritmo se hace cero: - \( x = -3 \) - \( x = 2 \) ### c) \( f(x) = \sqrt{x^{2} + x - 2} \) **Dominio:** \[ x^{2} + x - 2 \geq 0 \] Factorizando: \[ x^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \] Evaluando las desigualdades: - \( x \leq -2 \) - \( x \geq 1 \) **Dominio:** \( x \leq -2 \) o \( x \geq 1 \) **Puntos de discontinuidad:** En los puntos donde cambia el dominio: - \( x = -2 \) - \( x = 1 \) ### d) \( f(x) = \log(x^{2} + 4x - 5) \) **Dominio:** \[ x^{2} + 4x - 5 > 0 \] Factorizando: \[ x^{2} + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1) \] Evaluando las desigualdades: - \( x < -5 \) - \( x > 1 \) **Dominio:** \( x < -5 \) o \( x > 1 \) **Puntos de discontinuidad:** En los puntos donde el argumento del logaritmo se hace cero: - \( x = -5 \) - \( x = 1 \) ### **Resumen de Puntos de Discontinuidad:** - **a)** \( x = -2 \) y \( x = -1 \) - **b)** \( x = -3 \) y \( x = 2 \) - **c)** \( x = -2 \) y \( x = 1 \) - **d)** \( x = -5 \) y \( x = 1 \) Estas discontinuidades corresponden a los puntos donde las funciones no están definidas debido a las restricciones de los radicales y logaritmos.