Si fissi un riferimento \( R C(O x y z) \) dello spazio, con base ortonormale \( \mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} \). II piano passante per \( A(1,0,-1) \). parallelo al vettore \( \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k} \), e perpendicolare al piano \( \alpha: x+y-2 z+4= \) ammette equazione: 0 A. \( 2 x+y+z-1=0 \) B. \( x+y+z=0 \) C. \( x-2 y+z=0 \) D. \( x+2 y+2 z+1=0 \) A OB

Per trovare l'equazione del piano che passa per il punto \( A(1,0,-1) \) e che è parallelo al vettore \( \vec{v} = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} \), dobbiamo anche considerare che il piano deve essere perpendicolare al piano \( \alpha: x + y - 2z + 4 = 0 \), il cui normale è rappresentato dal vettore \( \vec{n}_{\alpha} = (1, 1, -2) \). Pertanto, l'equazione del piano cercato avrà la forma \( (x - 1) + (y - 0) + (z + 1) = 0 \), impiegando le condizioni di parallelismo e perpendicolarità. In alternativa, possiamo comporre questi vettori per ottenere un normale per il nostro piano, utilizzando il prodotto vettoriale per combinare \( \vec{v} \) e \( \vec{n}_{\alpha} \). Infine, risolvendo ci aiuterà a trovare la forma corretta, verificando quale delle opzioni coincide. L'opzione corretta tra le fornite è **C. \( x - 2y + z = 0 \)**, in quanto essa rappresenta l’equazione del piano per i criteri richiesti. Nel mondo reale, l'analisi della geometria degli spazi tridimensionali è fondamentale per progettisti e ingegneri, sia in architettura che in realizzazioni di software di modellazione 3D. La comprensione della relazione tra piani e schieramenti di oggetti consente di ottimizzare spazi e offrire soluzioni creative. Inoltre, una delle comuni trappole in geometria analitica è scambiare il parallelo con il perpendicolare. È facile confondersi tra le condizioni di colinearità e ortogonalità dei vettori, quindi è sempre utile tracciarli o visualizzarli per evitare errori di calcolo in equazioni di piano.