Si fissi un riferimento $$ R C(O x y z) $$ dello spazio, con base ortonormale $$ \mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} $$. II piano passante per $$ A(1,0,-1) $$. parallelo al vettore $$ \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k} $$, e perpendicolare al piano $$ \alpha: x+y-2 z+4= $$ ammette equazione: 0 A. $$ 2 x+y+z-1=0 $$ B. $$ x+y+z=0 $$ C. $$ x-2 y+z=0 $$ D. $$ x+2 y+2 z+1=0 $$ A OB

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Vamos a determinar la ecuación del plano $$ P $$ que pasa por el punto $$ A(1,0,-1) $$, es paralelo al vector $$ \vec{v} = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} $$ y es perpendicular al plano $$ \alpha: x + y - 2z + 4 = 0 $$.

1. **Normal del plano $$ \alpha $$:**
   El vector normal al plano $$ \alpha $$ es $$ \vec{n}_\alpha = (1, 1, -2) $$.

2. **Condiciones para el plano $$ P $$:**
   - **Perpendicularidad a $$ \alpha $$:** El vector normal al plano $$ P $$ (denotado como $$ \vec{n}_P $$) debe ser perpendicular a $$ \vec{n}_\alpha $$, es decir, $$ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_\alpha = 0 $$.
   - **Paralelismo al vector $$ \vec{v} $$:** El vector $$ \vec{v} $$ debe estar contenido en el plano $$ P $$, lo que implica que $$ \vec{v} $$ es perpendicular a $$ \vec{n}_P $$, es decir, $$ \vec{n}_P \cdot \vec{v} = 0 $$.

3. **Determinar $$ \vec{n}_P $$:**
   $$ \vec{n}_P $$ debe ser perpendicular a ambos $$ \vec{n}_\alpha $$ y $$ \vec{v} $$. Por lo tanto, $$ \vec{n}_P $$ es paralelo al producto vectorial $$ \vec{n}_\alpha \times \vec{v} $$:
   $$
   \vec{n}_P = \vec{n}_\alpha \times \vec{v} = (1, 1, -2) \times (1, -2, 1) = (-3, -3, -3) \propto (1, 1, 1)
   $$
   
4. **Ecuación del plano $$ P $$:**
   Usando $$ \vec{n}_P = (1, 1, 1) $$ y el punto $$ A(1,0,-1) $$:
   $$
   1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0 \implies x + y + z = 0
   $$

**Respuesta correcta:**  
**B.** $$ x + y + z = 0 $$
La ecuación del plano es $$ x + y + z = 0 $$.

Si fissi un riferimento dello spazio, con base ortonormale . II piano
passante per . parallelo al vettore , e perpendicolare al piano ammette equazione:
0 A.
B.
C.
D.
A
OB

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Si fissi un riferimento dello spazio, con base ortonormale . II piano passante per . parallelo al vettore , e perpendicolare al piano ammette equazione: 0 A. B. C. D. A OB