\( \sum _ { n = 2 ^ { n ^ { 2 } } - 1 } ^ { \infty } \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \)

Parece que hay una confusión en la notación de la suma que has proporcionado. La expresión que has escrito es: \[ \sum_{n = 2^{n^{2}} - 1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} \] En esta notación, el índice de la suma \( n \) aparece tanto en los límites inferiores como superiores de la suma, lo cual genera una dependencia circular y no es una forma estándar de expresar una serie. Normalmente, el índice de la suma debe ser una variable que incrementa de manera independiente dentro de los límites establecidos. Si la intención era sumar desde un valor específico de \( n \) hasta el infinito, por ejemplo, desde \( n = 2 \) hasta \( \infty \), la suma se expresaría así: \[ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} \] Esta serie es una serie p con \( p = 2 \), la cual es convergente. De hecho, sabemos que: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \] Por lo tanto, \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} = 2 \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} - 1 \right) = 2 \left( \frac{\pi^{2}}{6} - 1 \right) = \frac{\pi^{2}}{3} - 2 \] Si tu intención era otra, por favor proporciona más detalles o corrige la notación para poder asistirte mejor.