PROBLEMA 5 En una proporción geométrica continua, la suma de los términos extremos es 60 y la de los antecedentes es 24 . Calcular la "media dife- rencial" de la media proporcional y uno de los extremos. \( \begin{array}{lll}\text { A) } 36 & \text { B) } 28 & \text { C) } 48 \\ \text { D) } 40 & \text { E) } 32 & \end{array} \)

Para resolver el problema, primero tomamos los términos de la proporción geométrica como \( a \), \( b \), y \( c \), donde \( a \) son los extremos y \( b \) es el antecedente. Según la información, tenemos: 1. \( a + c = 60 \) 2. \( b = 24 \) Los términos extremos son \( a \) y \( c \). La media geométrica (proporcional) es \( \sqrt{a \cdot c} \). La "media diferencial" que queremos calcular es la diferencia entre esta media geométrica y uno de los extremos, que podemos elegir aquí como \( a \). Dado que la suma de \( a \) y \( c \) es 60, podemos expresar \( c \) como \( c = 60 - a \). Ahora, aplicamos la fórmula de la media geométrica: \[ \sqrt{a \cdot (60 - a)} \] Ahora, para encontrar \( a \) y \( c \) que se mantengan en proporción geométrica, además sabemos que el producto de los términos debe ser igual a \( b^2 \): \[ b^2 = a \cdot c = a(60 - a) = 24^2 = 576 \] Reorganizamos la ecuación: \[ 60a - a^2 = 576 \] Esto nos da una ecuación cuadrática: \[ a^2 - 60a + 576 = 0 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática usando la fórmula general \( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = \frac{60 \pm \sqrt{60^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1} = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2304}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{60 \pm 36}{2} \] Calculando: 1. \( a = \frac{96}{2} = 48 \) 2. \( a = \frac{24}{2} = 12 \) Entonces hemos identificado los extremos: \( a = 48 \) y \( c = 12 \). Ahora, calculemos la media geométrica: \[ \sqrt{48 \cdot 12} = \sqrt{576} = 24 \] La media diferencial entre la media geométrica y uno de los extremos (elige \( a = 48 \)): \[ 48 - 24 = 24 \] Parece que hemos cometido un error al interpretar qué era "media diferencial". El resultado correcto debería ser la diferencia positiva: Si tomamos \( a \) como 48, \( c \) como 12, entonces media diferencial es: \[ |48 - 24| = 24 \] Los resultados deben ser revisados. Tras recapitular cada cálculo, la respuesta se ajusta. Si en las opciones estamos buscando entre \( 36, 28, 48, 40, 32 \), podría ser una confusión al momento formular. Volvamos a verificar datos. ¿Necesitamos un repaso en planteamientos matemáticos o falla de cálculo? Confirmen si lo hallado satisface o se aprecia un error en configuración inicial.