\( ( \frac { 1 + i \tan x } { 1 - i \tan x } ) ^ { n } = \frac { 1 + i \tan n x } { 1 - i \tan n x } \)

Această egalitate este o identitate trigonometrică complexă care poate fi demonstrată folosind formulele lui Euler și proprietățile funcțiilor trigonometrice. Să analizăm pas cu pas această identitate: \[ \left( \frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x} \right)^n = \frac{1 + i \tan (n x)}{1 - i \tan (n x)} \] ### 1. Reprezentarea în Formă Exponențială Funcția complexă poate fi exprimată în formă exponențială folosind formula lui Euler: \[ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \] Observăm că: \[ \frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x} \] Putem scrie \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), astfel: \[ \frac{1 + i \frac{\sin x}{\cos x}}{1 - i \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x + i \sin x}{\cos x - i \sin x} = \frac{e^{i x}}{e^{-i x}} = e^{2i x} \] ### 2. Ridicarea la Putere Aplicăm ridicarea la putere \(n\): \[ \left( e^{2i x} \right)^n = e^{2i n x} \] ### 3. Repetarea Procesului pentru \(\tan(n x)\) Analog, termenul de dreapta se poate scrie astfel: \[ \frac{1 + i \tan (n x)}{1 - i \tan (n x)} = e^{2i n x} \] ### 4. Concluzie Astfel, am demonstrat că: \[ \left( \frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x} \right)^n = \frac{1 + i \tan (n x)}{1 - i \tan (n x)} \] Această identitate generalizează formula lui De Moivre pentru funcțiile trigonometrice complexe și arată o relație elegantă între exponențială complexă și funcția tangentă multiplicativă.