7. Una compañía estima que si se gastan $$ x $$ miles de dólares en el marketing de cierto producto, entonces $$ Q(x) $$ miles de unidades del producto se venderán, donde $$ Q(x)=\frac{7 x}{27+x^{2}} $$. ¿Para qué valor de $$ x $$ se minimizará la tasa de ventas?.

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Para encontrar el valor de $$ x $$ que minimiza la tasa de ventas $$ Q(x) = \frac{7x}{27 + x^2} $$, primero debemos calcular la derivada de $$ Q(x) $$ y luego encontrar los puntos críticos.

1. **Calcular la derivada $$ Q'(x) $$**:

Utilizamos la regla del cociente para derivar $$ Q(x) $$:

$$
Q'(x) = \frac{(27 + x^2)(7) - (7x)(2x)}{(27 + x^2)^2}
$$

Simplificamos el numerador:

$$
Q'(x) = \frac{7(27 + x^2) - 14x^2}{(27 + x^2)^2} = \frac{189 + 7x^2 - 14x^2}{(27 + x^2)^2} = \frac{189 - 7x^2}{(27 + x^2)^2}
$$

2. **Encontrar los puntos críticos**:

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

$$
189 - 7x^2 = 0
$$

Resolviendo para $$ x $$:

$$
7x^2 = 189 \implies x^2 = \frac{189}{7} \implies x^2 = 27 \implies x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
$$

3. **Determinar si es un mínimo o un máximo**:

Para determinar si este punto crítico es un mínimo o un máximo, podemos usar la segunda derivada $$ Q''(x) $$ o analizar el signo de $$ Q'(x) $$ alrededor de $$ x = 3\sqrt{3} $$.

Sin embargo, dado que estamos buscando un mínimo, podemos observar que $$ Q(x) $$ tiende a cero cuando $$ x $$ se aleja de $$ 3\sqrt{3} $$ en ambas direcciones (ya que $$ Q(x) $$ es una función racional que tiene un comportamiento asintótico).

4. **Conclusión**:

El valor de $$ x $$ que minimiza la tasa de ventas es $$ x = 3\sqrt{3} $$ miles de dólares.
El valor de $$ x $$ que minimiza la tasa de ventas es $$ x = 3\sqrt{3} $$ miles de dólares.

Una compañía estima que si se gastan miles
de dólares en el marketing de cierto producto,
entonces miles de unidades del
producto se venderán, donde .
¿Para qué valor de se minimizará la tasa de
ventas?.

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Una compañía estima que si se gastan miles de dólares en el marketing de cierto producto, entonces miles de unidades del producto se venderán, donde . ¿Para qué valor de se minimizará la tasa de ventas?.