12. Encuentre el valor para los primeros 8 términos de la sucesión es \( a(n)=n^{2} \) y grafique sus respuestas en el plano cartesiano. 13. En la siguiente sucesión \( a=\frac{1}{n} \) verificar que es convergente a 0 . Parea ello utilice los números enteros. ( \( n \leq 50 \) ) y represente mediante una gráfica en papel milimetrado.

¡Claro! A continuación se presentan las soluciones a los problemas 12 y 13 en español: --- ### **Problema 12** **Encuentre el valor para los primeros 8 términos de la sucesión \( a(n) = n^{2} \) y grafique sus respuestas en el plano cartesiano.** **Solución:** Calculamos los primeros 8 términos de la sucesión \( a(n) = n^{2} \): | **n** | **a(n) = n²** | |-------|---------------| | 1 | 1 | | 2 | 4 | | 3 | 9 | | 4 | 16 | | 5 | 25 | | 6 | 36 | | 7 | 49 | | 8 | 64 | **Gráfico:** Para graficar la sucesión en el plano cartesiano: 1. **Ejes:** - **Eje X (horizontal):** Representa los valores de \( n \) (1 al 8). - **Eje Y (vertical):** Representa los valores de \( a(n) \). 2. **Puntos a graficar:** - (1, 1) - (2, 4) - (3, 9) - (4, 16) - (5, 25) - (6, 36) - (7, 49) - (8, 64) 3. **Trazar y conectar los puntos:** Debido a que es una sucesión discreta, se pueden marcar los puntos y, opcionalmente, conectarlos con líneas para visualizar la tendencia creciente. **Ejemplo del gráfico:**  *(Nota: Reemplace con un gráfico real si lo realiza manualmente o utilizando una herramienta gráfica)* --- ### **Problema 13** **En la siguiente sucesión \( a(n) = \frac{1}{n} \), verificar que es convergente a 0. Para ello, utilice los números enteros (\( n \leq 50 \)) y represente mediante una gráfica en papel milimetrado.** **Solución:** La sucesión \( a(n) = \frac{1}{n} \) se comporta de la siguiente manera a medida que \( n \) aumenta: - **Tabla de valores:** | **n** | **a(n) = 1/n** | |-------|------------------| | 1 | 1.000 | | 5 | 0.200 | | 10 | 0.100 | | 15 | 0.0667 | | 20 | 0.050 | | 25 | 0.040 | | 30 | 0.0333 | | 35 | 0.0286 | | 40 | 0.025 | | 45 | 0.0222 | | 50 | 0.020 | *(Se pueden incluir más valores intermedios si se desea una mayor precisión en la gráfica.)* - **Interpretación:** - A medida que \( n \) aumenta, el valor de \( a(n) \) disminuye y se aproxima cada vez más a 0. - Matemáticamente, \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\), lo que demuestra que la sucesión es convergente a 0. **Gráfico:** Para graficar la sucesión en papel milimetrado: 1. **Ejes:** - **Eje X (horizontal):** Representa los valores de \( n \) (1 al 50). - **Eje Y (vertical):** Representa los valores de \( a(n) = \frac{1}{n} \). 2. **Puntos a graficar:** - Marcar puntos para diferentes valores de \( n \), por ejemplo, cada 5 unidades para mayor claridad. 3. **Trazar los puntos y observar la tendencia:** - A medida que \( n \) crece, los puntos se acercan cada vez más al eje X, demostrando la convergencia hacia 0. **Ejemplo del gráfico:**  *(Nota: Reemplace con un gráfico real si lo realiza manualmente o utilizando una herramienta gráfica)* --- **Conclusión:** - **Problema 12:** La sucesión \( a(n) = n^{2} \) crece cuadráticamente, y sus primeros 8 términos muestran un crecimiento rápido a medida que \( n \) aumenta. - **Problema 13:** La sucesión \( a(n) = \frac{1}{n} \) converge a 0, lo que se evidencia tanto en la tabla de valores como en el gráfico correspondiente. Si necesita ayuda adicional para graficar, puede utilizar herramientas como **Excel**, **Desmos** o **GeoGebra**, que facilitan la creación de gráficos precisos y visuales.