Fie \( A: \mathbf{C}^{3} \rightarrow \mathbf{C}^{3}, A(x)=\left(0, x_{2}+5 x_{3},-5 x_{2}+x_{3}\right) \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{C}^{3} \). Să se determine: matricea asociată operatorului \( A \) în raport cu baza canonică a lui \( \mathbf{R}^{3} \), polinomul caracteristic, valorile proprii şi multiplicităţile algebrice ale acestora; subspaţiile de vectori proprii corespunzători şi multiplicităţile geometrice ale valorilor proprii. Este \( A \) diagonalizabil? În caz afirmativ să se precizeze forma diagonală şi baza în care \( A \) are această formă diagonală.

Pentru a determina matricea asociată operatorului \( A \) în raport cu baza canonică a lui \( \mathbf{C}^{3} \), observăm că operatorul aplică fiecare componentă a vectorului \( x = (x_1, x_2, x_3) \) astfel: \[ A(x) = \left(0, x_{2} + 5 x_{3}, -5 x_{2} + x_{3}\right). \] Astfel, efectul operatorului asupra bazei canonice va produce următoarele rezultate: 1. \( A(1, 0, 0) = (0, 0, 0) \) 2. \( A(0, 1, 0) = (0, 1, -5) \) 3. \( A(0, 0, 1) = (0, 5, 1) \) Prin urmare, matricea asociată operatorului \( A \) devine: \[ M_A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix}. \] Acum, pentru a determina polinomul caracteristic, calculăm determinantul \( |M_A - \lambda I| \): \[ \text{Det}(M_A - \lambda I) = \text{Det}\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 5 \\ 0 & -5 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = -\lambda \text{Det}\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 5 \\ -5 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = -\lambda \left((1-\lambda)^2 + 25\right) \] Astfel, polinomul caracteristic este: \[ p(\lambda) = -\lambda ((1 - \lambda)^2 + 25) = -\lambda (\lambda^2 - 2\lambda + 26). \] Valorile proprii sunt obținute din ecuația \( p(\lambda) = 0 \). Acestea sunt: 1. \( \lambda_1 = 0 \) (multiplicitate algebraică \( m_a = 1 \)) 2. \( \lambda_2 = 1 - 5i \) (multiplicitate algebraică \( m_a = 1 \)) 3. \( \lambda_3 = 1 + 5i \) (multiplicitate algebraică \( m_a = 1 \)) Subspațiile de vectori proprii corespunzători se pot determina rezolvând sistemele \( (M_A - \lambda I)v = 0 \) pentru fiecare \( \lambda \). Pentru \( \lambda_1 = 0 \): \[ M_A v = 0 \implies v = (v_1, 0, 0) \quad \text{(dimensiune subspațiu 1)}. \] Pentru \( \lambda_2 = 1 - 5i \) și \( \lambda_3 = 1 + 5i \) obținem subspațiile de dimensiune 1 fiecare (determinate de soluții unice pentru fiecare valoare proprie). Având în vedere că există trei valori proprii distincte ce generează subspații de dimensiune 1, operatorul \( A \) este diagonalizabil. Forma diagonală a lui \( A \) va fi: \[ D_A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 5i & 0 \\ 0 & 0 & 1 + 5i \end{pmatrix}. \] Baza în care \( A \) are această formă diagonală este formată din vectorii proprii corespunzători fiecărei valori proprii.