EXERCICE 08 Soí $$ \left(u_{n}\right) $$ une suite numérique définie par: $$ \left\{\begin{array}{c}u_{0}=\frac{1}{2} \ (\forall n \subseteq \mathbb{N}) ; u_{n+1}=\frac{3 u_{n}+3}{u_{n}+6}\end{array}\right. $$ 1) a-Montrer que $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 1

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre ce problème, nous devons suivre plusieurs étapes. Voici la solution détaillée : 1) a) Montrer que $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 11 $$ et $$ u_{n}<3 $$. - Pour $$ u_{n}>1 $$ : $$ u_{n+1} = \frac{3u_{n}+3}{u_{n}+6} $$ Soit $$ u_{n}>1 $$, alors $$ 3u_{n}+3 > 3 $$ et $$ u_{n}+6 > 7 $$. Donc : $$ u_{n+1} = \frac{3u_{n}+3}{u_{n}+6} > \frac{3}{7} > 1 $$ Par induction, $$ u_{n}>1 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N}^{*} $$. - Pour $$ u_{n}<3 $$ : $$ u_{n+1} = \frac{3u_{n}+3}{u_{n}+6} $$ Soit $$ u_{n}<3 $$, alors $$ 3u_{n}+3 < 12 $$ et $$ u_{n}+6 < 9 $$. Donc : $$ u_{n+1} = \frac{3u_{n}+3}{u_{n}+6} < \frac{12}{9} = \frac{4}{3} < 3 $$ Par induction, $$ u_{n}<3 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N}^{*} $$. Donc, $$ 1 u_{n} $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. - Soit $$ u_{n} $$ et $$ u_{n+1} $$ deux termes de la suite. $$ u_{n+1} = \frac{3u_{n}+3}{u_{n}+6} $$ Soit $$ u_{n} $$ et $$ u_{n+1} $$ tels que $$ u_{n} > u_{n+1} $$, alors : $$ u_{n} > \frac{3u_{n}+3}{u_{n}+6} $$ Multiplying both sides by $$ u_{n}+6 $$ gives : $$ u_{n}(u_{n}+6) > 3u_{n}+3 $$ Simplifying, we get : $$ u_{n}^2 + 6u_{n} > 3u_{n} + 3 $$ $$ u_{n}^2 + 3u_{n} - 3 > 0 $$ Factoring, we get : $$ (u_{n} + 3)(u_{n} - 1) > 0 $$ Since $$ u_{n} > 1 $$ (from part a), we have $$ u_{n} - 1 > 0 $$. Therefore, $$ u_{n} + 3 > 0 $$ is always true. Hence, $$ (u_{n} + 3)(u_{n} - 1) > 0 $$ is true for all $$ n \in \mathbb{N} $$. Since $$ u_{n} > 1 $$ and $$ (u_{n} + 3)(u_{n} - 1) > 0 $$, we have $$ u_{n} > u_{n+1} $$ which contradicts our assumption. Therefore, $$ u_{n+1} > u_{n} $$ for all $$ n \in \mathbb{N} $$, and the sequence $$ \left(u_{n}\right) $$ is strictly increasing. 2) On considère la suite $$ \left(v_{n}\right) $$ définie par: $$ (\forall n \in \mathbb 1) a) Montrer que $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 11 $$ : On montre que $$ u_{n+1} > 1 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N}^{*} $$ par induction. - Pour $$ u_{n}<3 $$ : On montre que $$ u_{n+1} < 3 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N}^{*} $$ par induction. b) Montrer que la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est croissante. - On prouve que $$ u_{n+1} > u_{n} $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$ en utilisant l'inégalité $$ (u_{n} + 3)(u_{n} - 1) > 0 $$. 2) Suite $$ \left(v_{n}\right) $$ définie par: \[ (\forall n \in \mathbb{N}) ; v_{n}=\frac{u_{n}-3}{u_{n}+1} $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Other Questions