E.11. On considère la fonction \( f \) définie sur \( ] 0 ;+\infty \) [par: \( f(x)=x^{2} \cdot \ln x \) La courbe (8) représentative de la fonction \( f \) dans le plan muni d'un repère orthonormé. (1) (a) Déterminer la limite de \( f \) en \( +\infty \). (b) Etudier les variations de \( f \) sur \( ] 0 ;+\infty[ \) (2) Pour cette question, toute trace de recherche, même in- complète, sera prise en compte dans l'évaluation. Démontrer qu'il existe une tangente unique à la courbe \( \mathscr{C} \) passant par \( O \). Préciser une équation de cette tangente.

**Solution** On considère la fonction \( f \) définie sur \( ]0 ; +\infty[ \) par : \[ f(x) = x^{2} \cdot \ln x \] ### 1. Étude de la fonction \( f \) #### (a) Limite de \( f \) en \( +\infty \) Pour déterminer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), observons les comportements des termes composants \( f(x) = x^{2} \cdot \ln x \). - \( x^{2} \) tend vers \( +\infty \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). - \( \ln x \) tend également vers \( +\infty \), mais sa croissance est plus lente comparée à celle de \( x^{2} \). Ainsi, le produit de deux fonctions tendant vers \( +\infty \) donne : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] #### (b) Étude des variations de \( f \) sur \( ]0 ; +\infty[ \) Pour étudier les variations de \( f \), calculons sa dérivée première : \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{2} \ln x \right) \] En utilisant la règle du produit : \[ f'(x) = 2x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x (2 \ln x + 1) \] **Recherche des points critiques :** \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x (2 \ln x + 1) = 0 \] Comme \( x > 0 \), on résout : \[ 2 \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \] **Tableau de variations :** | \( x \) | \( 0 \) \(^+\) | \( e^{-1/2} \) | \( +\infty \) | |--------------------|----------------|-----------------|---------------| | \( f'(x) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | **Sens de \( f \)**| Décroissante | Minimum | Croissante | **Conclusion :** - \( f \) est décroissante sur \( ]0 ; e^{-1/2}[ \). - \( f \) atteint un minimum en \( x = e^{-1/2} \). - \( f \) est croissante sur \( ]e^{-1/2} ; +\infty[ \). ### 2. Existence d'une tangente unique passant par l'origine \( O \) Nous cherchons une tangente à la courbe \( \mathscr{C} \) de la fonction \( f \) qui passe par l'origine \( O(0,0) \). Soit \( a \) le point de tangence, avec les coordonnées \( (a, f(a)) \). L'équation de la tangente en \( x = a \) est : \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \] Cette tangente doit passer par \( (0,0) \), donc : \[ 0 = f'(a)(0 - a) + f(a) \] \[ 0 = -a f'(a) + f(a) \] \[ f(a) = a f'(a) \] Remplaçons \( f(a) \) et \( f'(a) \) : \[ a^{2} \ln a = a \cdot a (2 \ln a + 1) \] \[ a^{2} \ln a = a^{2} (2 \ln a + 1) \] \[ a^{2} \ln a = 2 a^{2} \ln a + a^{2} \] \[ -a^{2} \ln a - a^{2} = 0 \] \[ -\ln a - 1 = 0 \] \[ \ln a = -1 \] \[ a = e^{-1} \] Ainsi, le point de tangence est \( (e^{-1}, f(e^{-1})) \). Calculons \( f(e^{-1}) \) : \[ f(e^{-1}) = (e^{-1})^{2} \ln(e^{-1}) = e^{-2} \cdot (-1) = -e^{-2} \] Calculons la pente de la tangente : \[ f'(e^{-1}) = e^{-1} (2 \ln e^{-1} + 1) = e^{-1} (-2 + 1) = -e^{-1} \] **Équation de la tangente :** \[ y = -e^{-1} (x - e^{-1}) + (-e^{-2}) \] \[ y = -\frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot e^{-1} - e^{-2} \] \[ y = -\frac{1}{e} x + e^{-2} - e^{-2} \] \[ y = -\frac{1}{e} x \] **Conclusion :** Il existe une unique tangente à la courbe \( \mathscr{C} \) passant par l'origine \( O \), dont l'équation est : \[ y = -\frac{1}{e} \, x \]