Realiza la gráfica de las siguientes funciones, utiliza tabla de valores: a) $$ y=5 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{4} x-\frac{\pi}{2}\right) $$

Question

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Para graficar la función $$ y = 5 \sen\left(\frac{1}{4} x - \frac{\pi}{2}ight) $$ utilizando una tabla de valores, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Identificar las características de la función:**
   - **Amplitud (A):** 5
   - **Periodo (T):** $$ T = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 8\pi $$
   - **Desplazamiento de fase (φ):** $$ \frac{\pi/2}{1/4} = 2\pi $$ (hacia la derecha)
   - **Desplazamiento vertical:** 0

2. **Seleccionar valores de $$ x $$:** Elegiremos valores de $$ x $$ que nos permitan cubrir al menos un período completo de la función, desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 8\pi $$.

3. **Calcular los correspondientes valores de $$ y $$:**

A continuación, se muestra una tabla de valores seleccionados:

| $$ x $$ (rad) | $$ y = 5 \sen\left(\frac{1}{4} x - \frac{\pi}{2}ight) $$ |
|---------------|-------------------------------------------------------------|
| $$ 0 $$       | $$ 5 \sen\left(0 - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(-\frac{\pi}{2}ight) = -5 $$ |
| $$ 2\pi $$    | $$ 5 \sen\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen(0) = 0 $$ |
| $$ 4\pi $$    | $$ 5 \sen\left(\frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\pi - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{\pi}{2}ight) = 5 $$ |
| $$ 6\pi $$    | $$ 5 \sen\left(\frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen(\pi) = 0 $$ |
| $$ 8\pi $$    | $$ 5 \sen\left(\frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(2\pi - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{3\pi}{2}ight) = -5 $$ |

**Tabla de Valores Detallada:**

| $$ x $$            | Cálculo                                                              | $$ y $$ |
|--------------------|----------------------------------------------------------------------|---------|
| $$ 0 $$            | $$ 5 \sen\left(\frac{0}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(-\frac{\pi}{2}ight) $$ | $$ -5 $$ |
| $$ \pi $$          | $$ 5 \sen\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(-\frac{\pi}{4}ight) $$ | $$ -5 	imes \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -3.54 $$ |
| $$ 2\pi $$         | $$ 5 \sen\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen(0) $$                                  | $$ 0 $$  |
| $$ 3\pi $$         | $$ 5 \sen\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{\pi}{4}ight) $$             | $$ 5 	imes \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 3.54 $$ |
| $$ 4\pi $$         | $$ 5 \sen\left(\frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{\pi}{2}ight) $$           | $$ 5 $$  |
| $$ 5\pi $$         | $$ 5 \sen\left(\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{3\pi}{4}ight) $$           | $$ 5 	imes \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 3.54 $$ |
| $$ 6\pi $$         | $$ 5 \sen\left(\frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen(\pi) $$                                | $$ 0 $$  |
| $$ 7\pi $$         | $$ 5 \sen\left(\frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{5\pi}{4}ight) $$           | $$ -5 	imes \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -3.54 $$ |
| $$ 8\pi $$         | $$ 5 \sen\left(\frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{2}ight) = 5 \sen\left(\frac{3\pi}{2}ight) $$           | $$ -5 $$ |

**Interpretación de la Tabla:**

- **Máximo y Mínimo:** La función alcanza su valor máximo en $$ y = 5 $$ y su mínimo en $$ y = -5 $$.
- **Periodo Completo:** Desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 8\pi $$, la función completa un ciclo completo de ondas.
- **Puntos Clave:**
  - **Inicio:** En $$ x = 0 $$, $$ y = -5 $$.
  - **Cruzando el eje x hacia arriba:** En $$ x = 2\pi $$, $$ y = 0 $$.
  - **Máximo:** En $$ x = 4\pi $$, $$ y = 5 $$.
  - **Cruzando el eje x hacia abajo:** En $$ x = 6\pi $$, $$ y = 0 $$.
  - **Mínimo:** En $$ x = 8\pi $$, $$ y = -5 $$.

**Gráfica de la Función:**

Aunque no puedo dibujar la gráfica directamente aquí, puedo describir cómo trazarla:

1. **Ejes Coordenados:** Dibuja los ejes $$ x $$ (horizontal) e $$ y $$ (vertical).

2. **Puntos de la Tabla:** Marca los puntos obtenidos en la tabla en el plano cartesiano.

3. **Forma de Onda:** Conecta los puntos de manera suave siguiendo la forma característica de la función seno, asegurándote de respetar la amplitud y el periodo.

4. **Repetición:** Si deseas, repite el patrón para más períodos hacia la derecha o izquierda según sea necesario.

**Ejemplo Simplificado de la Gráfica:**

```
y
|
5|           *           
4|         *   *         
3|       *       *       
2|                     
1|                     
0|*-------*-------*-------*-------*-------*-------*-------*-------*--- x
-1|                     
-2|                     
-3|       *       *       
-4|         *   *         
-5|           *           
```

*Nota:* Los asteriscos (*) representan los puntos clave de máximo, mínimo y cruces por el eje $$ x $$. La línea ondulada entre ellos representa la función seno.

**Conclusión:**

La función $$ y = 5 \sen\left(\frac{1}{4} x - \frac{\pi}{2}ight) $$ es una onda sinusoidal con una amplitud de 5, un periodo de $$ 8\pi $$ y un desplazamiento de fase de $$ 2\pi $$ unidades hacia la derecha. Utilizando la tabla de valores y la descripción proporcionada, puedes trazar su gráfica de manera precisa.
To graph the function $$ y = 5 \sen\left(\frac{1}{4} x - \frac{\pi}{2}ight) $$, use the following steps: 1. **Identify Key Features:** - **Amplitude:** 5 - **Period:** $$ 8\pi $$ - **Phase Shift:** $$ 2\pi $$ to the right - **Vertical Shift:** 0 2. **Create a Table of Values:** - Select $$ x $$ values from 0 to $$ 8\pi $$. - Calculate corresponding $$ y $$ values using the function. 3. **Plot the Points:** - Mark the points from the table on a coordinate plane. - Connect the points with a smooth sine wave curve. 4. **Key Points:** - Maximum at $$ x = 4\pi $$, $$ y = 5 $$ - Minimum at $$ x = 0 $$ and $$ x = 8\pi $$, $$ y = -5 $$ - Crosses the x-axis at $$ x = 2\pi $$ and $$ x = 6\pi $$ **Simplified Graph Description:** The graph is a sine wave with an amplitude of 5, a period of $$ 8\pi $$, and a phase shift of $$ 2\pi $$ to the right. It reaches a maximum of 5 at $$ x = 4\pi $$, a minimum of -5 at $$ x = 0 $$ and $$ x = 8\pi $$, and crosses the x-axis at $$ x = 2\pi $$ and $$ x = 6\pi $$.

Realiza la gráfica de las siguientes funciones, utiliza tabla de valores: a) \( y=5 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{4} x-\frac{\pi}{2}\right) \)

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