Bj elke $$ p \in \mathbb{R} $$ is gegeven het paar vectoren $$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \ -1 \ p\end{array} ight) $$ en $$ \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \ p \ 1\end{array} ight) $$ Welke waarden kan de grootte van de hoek van $$ \vec{a} $$ en $$ \vec{b} $$ aannemen?

Question

Bj elke $$ p \in \mathbb{R} $$ is gegeven het paar vectoren $$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \ -1 \ p\end{array}ight) $$ en $$ \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \ p \ 1\end{array}ight) $$ Welke waarden kan de grootte van de hoek van $$ \vec{a} $$ en $$ \vec{b} $$ aannemen?

UpStudy AI · Accepted Answer

Om de grootte van de hoek tussen de vectoren $$ \vec{a} $$ en $$ \vec{b} $$ te bepalen, kunnen we de cosine van de hoek gebruiken. De cosine van de hoek tussen twee vectoren $$ \vec{a} $$ en $$ \vec{b} $$ is gegeven door de formule:

$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $$

waarbij $$ \vec{a} \cdot \vec{b} $$ de inner product (dot product) van de vectoren is en $$ |\vec{a}| $$ en $$ |\vec{b}| $$ de lengtes van de vectoren.

Laten we eerst de inner product en de lengtes van de vectoren berekenen.

1. **Inner product (dot product):**

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(p) + (p)(1) = 1 - p + p = 1 $$

2. **Lengte van $$ \vec{a} $$:**

$$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + p^2} = \sqrt{1 + 1 + p^2} = \sqrt{2 + p^2} $$

3. **Lengte van $$ \vec{b} $$:**

$$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + p^2 + 1^2} = \sqrt{1 + p^2 + 1} = \sqrt{2 + p^2} $$

Nu kunnen we de cosine van de hoek berekenen:

$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2 + p^2} \cdot \sqrt{2 + p^2}} = \frac{1}{2 + p^2} $$

De cosine van de hoek kan een waarde aannemen tussen -1 en 1, inclusief deze grenswaarden. Dit betekent dat de hoek $$ \theta $$ een waarde kan aannemen in het interval $$ [0, \pi] $$ (0 graden tot 180 graden).

Laten we nu de mogelijke waarden van $$ \cos(\theta) $$ bekijken:

- Als $$ \cos(\theta) = 1 $$, dan is $$ \theta = 0 $$ graden (de vectoren liggen exact in dezelfde richting).
- Als $$ \cos(\theta) = 0 $$, dan is $$ \theta = \frac{\pi}{2} $$ graden (de vectoren liggen exact perpendiculair ten opzichte van elkaar).
- Als $$ \cos(\theta) = -1 $$, dan is $$ \theta = \pi $$ graden (de vectoren liggen exact tegenover elkaar).

Omdat $$ \cos(\theta) = \frac{1}{2 + p^2} $$, moeten we ervoor zorgen dat $$ 2 + p^2 $$ een positieve waarde is, zodat de cosine een waarde tussen -1 en 1 kan aannemen. Dit is altijd het geval omdat $$ p^2 $$ altijd een niet-negatieve waarde is.

Dus, de grootte van de hoek $$ \theta $$ kan alle waarden aannemen in het interval $$ [0, \pi] $$, wat overeenkomt met de hoeken tussen 0 en 180 graden. Er zijn geen specifieke waarden die de hoek niet kan aannemen, omdat de cosine van de hoek voor alle reële waarden van $$ p $$ een waarde tussen -1 en 1 kan aannemen.
De grootte van de hoek tussen de vectoren $$ \vec{a} $$ en $$ \vec{b} $$ kan alle waarden aannemen in het interval $$ [0, \pi] $$, wat overeenkomt met hoeken tussen 0 en 180 graden.

Bj elke is gegeven het paar vectoren
en
Welke waarden kan de grootte van de hoek van en aannemen?

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions

Bj elke is gegeven het paar vectoren en Welke waarden kan de grootte van de hoek van en aannemen?