Bj elke \( p \in \mathbb{R} \) is gegeven het paar vectoren \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ p\end{array}\right) \) en \( \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ p \\ 1\end{array}\right) \) Welke waarden kan de grootte van de hoek van \( \vec{a} \) en \( \vec{b} \) aannemen?

Om de grootte van de hoek tussen de vectoren \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) te bepalen, maken we gebruik van de formule voor de cosinus van de hoek \(\theta\) tussen twee vectoren, die gegeven is door: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} \] Hierbij is \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) het inwendige product van de vectoren, en \(\|\vec{a}\|\) en \(\|\vec{b}\|\) zijn de normen van deze vectoren. We berekenen eerst het inwendige product: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot p + p \cdot 1 = 1 - p + p = 1 \] Nu berekenen we de normen van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\): \[ \|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + p^2} = \sqrt{1 + 1 + p^2} = \sqrt{2 + p^2} \] \[ \|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + p^2 + 1^2} = \sqrt{1 + p^2 + 1} = \sqrt{2 + p^2} \] Nu kunnen we \(\cos(\theta)\) uitdrukken: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2 + p^2} \sqrt{2 + p^2}} = \frac{1}{2 + p^2} \] De waarde van \(\cos(\theta)\) kan variëren afhankelijk van \(p\). Aangezien \(p\) een reëel getal is, kan \(p^2\) elk niet-negatief getal aannemen en daarom varieert \(2 + p^2\) van \(2\) tot oneindig. Hieruit volgt: - Voor \(p = 0\) is \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\), wat betekent dat \(\theta = 60^\circ\). - Voor \(p \to \infty\) wordt \(\cos(\theta) \to 0\) en dus \(\theta \to 90^\circ\) (de vectoren zijn orthogonaal). - Wanneer \(p^2\) groter wordt dan \(2\), kan \(\theta\) toenemen, waarbij \(\cos(\theta)\) daalt, tot een waarde van \(1\) bij \(p \to 0\). Door deze informatie samen te nemen, kunnen we concluderen dat de hoek \(\theta\) tussen de vectoren alles kan aannemen van \(60^\circ\) tot \(90^\circ\) indien \(p\) in verschillende ranges varieert, met inderdaad een waarde van \(0^\circ\) (in geval dat de vectoren lineair afhankelijk zijn) tot een maximum van \(90^\circ\) omdat het inwendige product \(1\) nooit negatief kan zijn.