(13) ¿Cuál es la ecuación ce la recta tangente a la gráfica de la función $$ f(x)=3 x^{2}+2 x $$ en el punto $$ (-1,1) $$ ?

Question

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Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $$ f(x) = 3x^{2} + 2x $$ en el punto $$(-1, 1)$$, seguimos los siguientes pasos:

1. **Verificar el punto en la función:**
   
   Evaluamos $$ f(-1) $$:
   $$
   f(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1
   $$
   El punto $$(-1, 1)$$ pertenece a la gráfica de $$ f(x) $$.

2. **Calcular la derivada de la función:**
   
   La derivada de $$ f(x) $$ nos da la pendiente de la recta tangente en cualquier punto $$ x $$:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{2} + 2x) = 6x + 2
   $$

3. **Determinar la pendiente en $$ x = -1 $$:**
   
   Evaluamos la derivada en $$ x = -1 $$:
   $$
   f'(-1) = 6(-1) + 2 = -6 + 2 = -4
   $$
   Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es $$-4$$.

4. **Escribir la ecuación de la recta tangente:**
   
   Usamos la fórmula de la recta con pendiente $$ m $$ y que pasa por el punto $$(x_0, y_0)$$:
   $$
   y - y_0 = m(x - x_0)
   $$
   Sustituyendo los valores:
   $$
   y - 1 = -4(x - (-1)) \
   y - 1 = -4(x + 1) \
   y = -4x - 4 + 1 \
   y = -4x - 3
   $$

**Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:**
$$
y = -4x - 3
$$
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f(x) = 3x^{2} + 2x $$ en el punto $$(-1, 1)$$ es: $$ y = -4x - 3 $$

(13) ¿Cuál es la ecuación ce la recta tangente a la gráfica de la función en el punto ?

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