4 NOM Prénom : \( \qquad \) Numéro d'étudiant : \( \qquad \) Exercice 2. Soient \( E=\mathbb{R}^{3}, h \in \mathbb{R} \) un paramètre et \( \varphi_{h}: E \times E \rightarrow \mathbb{R} \) une application bilinéaire et symétrique telle que \[ \varphi_{h}(u, v)=2 u_{1} v_{1}+2 h\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+2 u_{2} v_{2}+3 u_{3} v_{3}, \] où \( u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)^{t}, v=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)^{t} \) sont deux vecteurs de \( \mathbb{R}^{3} \) en base canonique. (a) Montrer que la matrice \( \Phi_{h} \) associée à \( \varphi_{h} \) en base canonique est la suivante \[ \Phi_{h}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 h & 0 \\ 2 h & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \] ce qui signifie que \[ \varphi_{h}(u, v)=u^{t} \Phi_{h} v \] Prouver aussi, par la méthode de Gauss, que \( \varphi_{h} \) est un produit scalaire si et seulement si \( -1

Ask by Stanley Mejia. in France

Jan 20,2025

Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape. ### (a) Montrer que la matrice \( \Phi_{h} \) associée à \( \varphi_{h} \) est donnée. Nous avons l'application bilinéaire et symétrique définie par : \[ \varphi_{h}(u, v) = 2 u_{1} v_{1} + 2 h (u_{1} v_{2} + u_{2} v_{1}) + 2 u_{2} v_{2} + 3 u_{3} v_{3} \] Pour exprimer cela sous forme matricielle, nous devons identifier les coefficients de chaque produit \( u_i v_j \). 1. **Termes en \( u_1 v_1 \)** : Coefficient \( 2 \) 2. **Termes en \( u_1 v_2 \)** : Coefficient \( 2h \) 3. **Termes en \( u_2 v_1 \)** : Coefficient \( 2h \) 4. **Termes en \( u_2 v_2 \)** : Coefficient \( 2 \) 5. **Termes en \( u_3 v_3 \)** : Coefficient \( 3 \) En regroupant ces coefficients, nous obtenons la matrice associée : \[ \Phi_{h} = \begin{pmatrix} 2 & 2h & 0 \\ 2h & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] Cela signifie que : \[ \varphi_{h}(u, v) = u^{t} \Phi_{h} v \] ### (b) Prouver que \( \varphi_{h} \) est un produit scalaire si et seulement si \( -1 0 \) (OK) 2. **Deuxième mineur principal** : \[ \begin{vmatrix} 2 & 2h \\ 2h & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (2h)(2h) = 4 - 4h^2 \] Nous voulons que \( 4 - 4h^2 > 0 \), ce qui donne : \[ 1 > h^2 \implies -1 < h < 1 \] 3. **Troisième mineur principal** : \[ \det(\Phi_{h}) = 2 \cdot (4 - 4h^2) \cdot 3 = 6(4 - 4h^2) \] Cela est positif si \( -1 < h < 1 \). Ainsi, \( \varphi_{h} \) est un produit scalaire si et seulement si \( -1 < h < 1 \). ### (c) Construction d'une base orthogonale pour \( \left(E, \varphi_{\frac{1}{2}}\right) \). Pour \( h = \frac{1}{2} \), la matrice devient : \[ \Phi_{\frac{1}{2}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] Nous allons utiliser le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt sur la base canonique \( \{e_1, e_2, e_3\} \) où \( e_1 = (1,0,0)^t \), \( e_2 = (0,1,0)^t \), \( e_3 = (0,0,1)^t \). 1. **Définir \( v_1 = e_1 \)**. 2. **Calculer \( v_2 \)** : \[ v_2 = e_2 - \frac{\varphi_{\frac{1}{2}}(e_2, v_1)}{\varphi_{\frac{1}{2}}(v_1, v_1)} v_1 \] Calculons \( \varphi_{\frac{1}{2}}(e_2, v_1) \) et \( \varphi_{\frac{1}{2}}(v_1, v_1) \): \[ \varphi_{\frac{1}{2}}(e_2, v_1) = \varphi_{\frac{1}{2}}((0,1,0), (1,0,0)) = 1 \] \[ \varphi_{\frac{1}{2}}(v_1, v_1) = \varphi_{\frac{1}{2}}((1,0,0), (1,0,0)) = 2 \] Donc : \[ v_2 = e_2 - \frac{1}{2} e_1 = (0,1,0) - \frac{1}{2}(1,0,0) = \left(-\frac{1}{2}, 1, 0\right) \] 3. **Calculer \( v_3 \)** : \[ v_3 = e_3 - \frac{\varphi_{\frac{1}{2}}(e_3, v_1)}{\varphi_{\frac{1}{2}}(v_1, v_1)} v_1 - \frac{\varphi_{\frac{1}{2}}(e_3, v_2)}{\varphi_{\frac{1}{2}}(v_2, v_2)} v_2 \] Calculons \( \varphi_{\frac{1}{2}}(e_3, v_1) \) et \( \varphi_{\frac{1}{2}}(e_3, v_2) \): \[ \varphi_{\frac{1}{2}}(e_3, v_1) = 0 \] \[ \varphi_{\frac{1}{2}}(e_3, v_2) = 0 \] Donc : \[ v_3 = e_3 = (0,0,1) \] La base orthogonale est donc : \[ \{(1,0,0), \left(-\frac{1}{2}, 1, 0\right), (0,0,1)\} \] ### (d) Déterminer la dimension et une base du sous-espace orthogonal à \( V \). Nous avons \( V = \operatorname{Vect}\{(0,1,-1)^t, (1,0,0)^t\