Exercice 3 Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x)=x^{2}+x \) 1) Ecrire \( f(x) \) sous forme canonique 2) Vérifier que \( \forall x \in \mathbb{R} ; f(x) \geq-\frac{1}{4} \) 3) Résoudre l'équation \( f(x)=-\frac{1}{4} \) et déduire une valeur minimale de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \)
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Pour obtenir la forme canonique de la fonction \( f(x) = x^2 + x \), nous commençons par compléter le carré. On peut réécrire \( f(x) \) comme suit : \[ f(x) = x^2 + x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \] Ceci nous montre que la fonction est sous forme canonique et cela facilite la compréhension du comportement de \( f \). Pour vérifier que \( \forall x \in \mathbb{R}; f(x) \geq -\frac{1}{4} \), regardons notre forme canonique. Puisque \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2\) est toujours positif ou nul pour tout \( x \), la plus petite valeur qu'elle peut prendre est 0. Ainsi, \( f(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \) atteint sa valeur minimale lorsque \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 0\), c'est-à-dire \( f(x) \geq -\frac{1}{4} \). Pour résoudre l'équation \( f(x) = -\frac{1}{4} \), nous imbriquons dans l'équation notre forme canonique : \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \] En simplifiant, nous avons: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 0 \] Ce qui nous donne la solution \( x + \frac{1}{2} = 0 \) ou \( x = -\frac{1}{2} \). Par conséquent, la valeur minimale de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \) est \( f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} \).
