Tempo rimasto 0:56:51 Quale delle seguenti affermazioni è corretta per l'equazione differenziale \[ z^{\prime \prime}+9 y=\cos (2 x) ? \] Scegli un'alternativa: L'integrale generale dell'equazione omogenea associata è \[ y(x)=C_{1} e^{3 x}+C_{2} e^{-3 x}+\frac{1}{5} \cos (2 x) \] L'integrale generale dell'equazione omogenea associata è \( y(x)=C_{1} \cos (2 x)+C_{2} \sin (2 x) \) L'integrale generale dell'equazione completa è \( y(x)=C_{1} \cos (3 x)+C_{2} \sin (3 x)+\frac{1}{5} \cos (2 x) \) Un integrale particolare dell'equazione completa è \( y_{p}(x)=\frac{1}{5} \sin (2 x) \) L'integrale generale dell'equazione omogenea associata è \( y(x)=C_{1}+C_{2} e^{-9 z} \)

L'affermazione corretta per l'equazione differenziale \[ y'' + 9 y = \cos(2x) \] è la seguente: **L'integrale generale dell'equazione completa è \( y(x) = C_{1} \cos (3 x) + C_{2} \sin (3 x) + \frac{1}{5} \cos (2 x) \).** ### Giustificazione: 1. **Equazione Omogenea Associata:** L'equazione omogenea associata è: \[ y'' + 9 y = 0 \] La soluzione generale di questa equazione omogenea è: \[ y_h(x) = C_{1} \cos(3x) + C_{2} \sin(3x) \] 2. **Soluzione Particolare:** Per trovare una soluzione particolare \( y_p(x) \) dell'equazione completa, assumiamo una forma \( y_p(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x) \). Sostituendo nell'equazione differenziale: \[ y_p'' + 9 y_p = \cos(2x) \] Dopo i calcoli, si ottiene: \[ A = \frac{1}{5} \quad \text{e} \quad B = 0 \] Quindi, la soluzione particolare è: \[ y_p(x) = \frac{1}{5} \cos(2x) \] 3. **Soluzione Generale:** La soluzione generale dell'equazione differenziale completa è la somma della soluzione omogenea e della soluzione particolare: \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_{1} \cos(3x) + C_{2} \sin(3x) + \frac{1}{5} \cos(2x) \] ### Perché le altre alternative sono errate: - **Prima alternativa:** Usa esponenziali \( e^{3x} \) e \( e^{-3x} \) invece delle funzioni trigonometriche corrette. - **Seconda alternativa:** La soluzione omogenea associata è errata (usa frequenza \( 2 \) anziché \( 3 \)). - **Quarta alternativa:** Propone una soluzione particolare diversa da quella corretta. - **Quinta alternativa:** Presenta una forma completamente errata per la soluzione omogenea. **Quindi, la terza alternativa è l'unica corretta.**