Tempo rimasto 0:56:51 Quale delle seguenti affermazioni è corretta per l'equazione differenziale $$ z^{\prime \prime}+9 y=\cos (2 x) ? $$ Scegli un'alternativa: L'integrale generale dell'equazione omogenea associata è $$ y(x)=C_{1} e^{3 x}+C_{2} e^{-3 x}+\frac{1}{5} \cos (2 x) $$ L'integrale generale dell'equazione omogenea associata è $$ y(x)=C_{1} \cos (2 x)+C_{2} \sin (2 x) $$ L'integrale generale dell'equazione completa è $$ y(x)=C_{1} \cos (3 x)+C_{2} \sin (3 x)+\frac{1}{5} \cos (2 x) $$ Un integrale particolare dell'equazione completa è $$ y_{p}(x)=\frac{1}{5} \sin (2 x) $$ L'integrale generale dell'equazione omogenea associata è $$ y(x)=C_{1}+C_{2} e^{-9 z} $$

Question

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L'affermazione corretta per l'equazione differenziale
$$
y'' + 9 y = \cos(2x)
$$
è la seguente:

**L'integrale generale dell'equazione completa è $$ y(x) = C_{1} \cos (3 x) + C_{2} \sin (3 x) + \frac{1}{5} \cos (2 x) $$.**

### Giustificazione:

1. **Equazione Omogenea Associata:**
   L'equazione omogenea associata è:
   $$
   y'' + 9 y = 0
   $$
   La soluzione generale di questa equazione omogenea è:
   $$
   y_h(x) = C_{1} \cos(3x) + C_{2} \sin(3x)
   $$
   
2. **Soluzione Particolare:**
   Per trovare una soluzione particolare $$ y_p(x) $$ dell'equazione completa, assumiamo una forma $$ y_p(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x) $$. Sostituendo nell'equazione differenziale:
   $$
   y_p'' + 9 y_p = \cos(2x)
   $$
   Dopo i calcoli, si ottiene:
   $$
   A = \frac{1}{5} \quad \text{e} \quad B = 0
   $$
   Quindi, la soluzione particolare è:
   $$
   y_p(x) = \frac{1}{5} \cos(2x)
   $$
   
3. **Soluzione Generale:**
   La soluzione generale dell'equazione differenziale completa è la somma della soluzione omogenea e della soluzione particolare:
   $$
   y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_{1} \cos(3x) + C_{2} \sin(3x) + \frac{1}{5} \cos(2x)
   $$

### Perché le altre alternative sono errate:

- **Prima alternativa:** Usa esponenziali $$ e^{3x} $$ e $$ e^{-3x} $$ invece delle funzioni trigonometriche corrette.
- **Seconda alternativa:** La soluzione omogenea associata è errata (usa frequenza $$ 2 $$ anziché $$ 3 $$).
- **Quarta alternativa:** Propone una soluzione particolare diversa da quella corretta.
- **Quinta alternativa:** Presenta una forma completamente errata per la soluzione omogenea.

**Quindi, la terza alternativa è l'unica corretta.**
La soluzione generale dell'equazione differenziale $$ y'' + 9 y = \cos(2x) $$ è: $$ y(x) = C_{1} \cos(3x) + C_{2} \sin(3x) + \frac{1}{5} \cos(2x) $$ Quindi, la terza alternativa è corretta.

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Answer

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Giustificazione:

Perché le altre alternative sono errate:

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