Варіант 2 1) Лінія перетину сфери і площини, віддаленої від центра сфери на 8 см, має довжину $$ 12 \pi $$ см. Обчисліть радіус сфери. 2) Площина перетинає кулю. Діаметр, проведений до однієї з точок перетину, утворює з площиною кут $$ 45^{\circ} $$. Обчисліть площу пере- різу, якщо діаметр кулі дорівнює $$ 4 \sqrt{3} $$ см. 3) На поверхні кулі радіуса 25 см розміщено три точки. Довжини прямолінійних відрізків, лкі сполучають ці точки, дорівнюють 15 см, 20 см і 25 см. Через задані точки проведено площину. Об- числіть: а) радіус перерізу кулі заданою площиною; б) відстань від центра кулі до заданої площини.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим каждую из задач по порядку.

### Задача 1
**Условие:** Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра сферы на 8 см, имеет длину $$ 12 \pi $$ см. Найдите радиус сферы.

**Решение:**
1. Длина линии пересечения сферы и плоскости (круг) равна $$ 2 \pi r $$, где $$ r $$ — радиус круга.
2. Из условия имеем: 
   $$
   2 \pi r = 12 \pi
   $$
   Отсюда:
   $$
   r = 6 \text{ см}
   $$
3. Обозначим радиус сферы как $$ R $$. По теореме о расстоянии от центра сферы до плоскости:
   $$
   R^2 = d^2 + r^2
   $$
   где $$ d = 8 $$ см (расстояние от центра до плоскости) и $$ r = 6 $$ см (радиус круга).
4. Подставим значения:
   $$
   R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100
   $$
   Следовательно:
   $$
   R = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
   $$

### Задача 2
**Условие:** Плоскость пересекает шар. Диаметр, проведенный до одной из точек пересечения, образует с плоскостью угол $$ 45^{\circ} $$. Найдите площадь пересечения, если диаметр шара равен $$ 4 \sqrt{3} $$ см.

**Решение:**
1. Радиус шара $$ R = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} $$ см.
2. Плоскость пересекает шар под углом $$ 45^{\circ} $$. Площадь пересечения (круга) можно найти по формуле:
   $$
   S = \pi r^2
   $$
   где $$ r $$ — радиус круга пересечения.
3. Радиус круга пересечения можно найти по формуле:
   $$
   r = R \sin(45^{\circ}) = R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$
   Подставим значение радиуса шара:
   $$
   r = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} \text{ см}
   $$
4. Теперь найдем площадь:
   $$
   S = \pi (\sqrt{6})^2 = 6\pi \text{ см}^2
   $$

### Задача 3
**Условие:** На поверхности шара радиуса 25 см размещены три точки. Длины прямолинейных отрезков, соединяющих эти точки, равны 15 см, 20 см и 25 см. Через заданные точки проведена плоскость. Найдите:
а) радиус перерезу шара заданной плоскостью;
б) расстояние от центра шара до заданной плоскости.

**Решение:**
1. Обозначим длины отрезков как $$ a = 15 $$ см, $$ b = 20 $$ см, $$ c = 25 $$ см.
2. Для нахождения радиуса перерезу используем формулу Герона для площади треугольника:
   $$
   s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 20 + 25}{2} = 30 \text{ см}
   $$
   Площадь $$ S $$ треугольника:
   $$
   S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{30(30-15)(30-20)(30-25)} = \sqrt{30 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5}
   $$
   Вычислим:
   $$
   S = \sqrt{2250} = 15\sqrt{10} \text{ см}^2
   $$
3. Теперь найдем радиус круга пересечения $$ r $$:
   $$
   r = \frac{2S}{P}
   $$
   где $$ P = a + b + c = 60 $$ см.
   Подставим значения:
   $$
   r = \frac{2 \cdot 15\sqrt{10}}{60} = \frac{15\sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{10}}{2} \text{ см}
   $$

4. Для нахождения расстояния от центра шара до плоскости $$ d $$ используем формулу:
   $$
   d = \sqrt{R^2 - r^2}
   $$
   Подставим значения:
   $$
   d = \sqrt{25^2 - \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2} = \sqrt{625 - \frac{10}{4}} = \sqrt{625 - 2.5} = \sqrt{622.5}
   $$

Теперь у нас есть все необходимые результаты:
1. Радиус сферы: $$ 10 $$ см.
2. Площадь пересечения: $$ 6\pi $$ см².
3. Радиус перерезу: $$ \frac{\sqrt{10}}{2} $$ см.
4. Расстояние от центра до плоскости: $$ \sqrt{622.5} $$ см.
Радиус сферы: 10 см Площадь пересечения: $$6\pi$$ см² Радиус перерезу: $$ \frac{\sqrt{10}}{2} $$ см Расстояние от центра до плоскости: $$ \sqrt{622.5} $$ см

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Geometry Questions