\( \frac { ( a - \varepsilon ) ^ { 4 } } { b ^ { 4 } } - \frac { 3 ^ { * } ( a - \varepsilon ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + 1 = 0 \)

Λύση της εξίσωσης: \[ \frac{(a - \varepsilon)^4}{b^4} - \frac{3(a - \varepsilon)^2}{b^2} + 1 = 0 \] **Βήμα 1:** Κάνουμε την αντικατάσταση \( x = \frac{(a - \varepsilon)^2}{b^2} \). Η εξίσωση γίνεται: \[ x^2 - 3x + 1 = 0 \] **Βήμα 2:** Λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση για το \( x \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] **Βήμα 3:** Επαναφέρουμε την αντικατάσταση για \( x \): \[ \frac{(a - \varepsilon)^2}{b^2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] **Βήμα 4:** Λύνουμε για \( (a - \varepsilon) \): \[ a - \varepsilon = \pm b \sqrt{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}} \] **Βήμα 5:** Λύνοντας για το \( \varepsilon \), παίρνουμε τις τέσσερις δυνατές λύσεις: \[ \varepsilon = a \pm b \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} \quad \text{και} \quad \varepsilon = a \pm b \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \] Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είναι: \[ \varepsilon = a + b \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}, \quad \varepsilon = a - b \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}, \] \[ \varepsilon = a + b \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}, \quad \varepsilon = a - b \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \]