\( 2^{a} \) Questão (0,6 ponto) - A sequência de números reais \( \left(1+3 x^{2}, 1-2 x, x^{2}-2 x, \ldots\right) \) é uma progressão aritmética crescente. Sabendo que \( r \) é a razão dessa progressão, calcule (simplificando ao máximo a resposta) o valor de \( \frac{1}{r} \).

Para resolver o problema, vamos analisar a sequência dada: \( (1 + 3x^2, 1 - 2x, x^2 - 2x, \ldots) \). Sabemos que a sequência é uma progressão aritmética (PA) crescente, o que significa que a diferença entre termos consecutivos é constante. Vamos denotar os termos da sequência como: - \( a_1 = 1 + 3x^2 \) - \( a_2 = 1 - 2x \) - \( a_3 = x^2 - 2x \) A razão \( r \) da PA pode ser encontrada pela diferença entre os termos consecutivos: 1. A diferença entre o segundo e o primeiro termo: \[ r = a_2 - a_1 = (1 - 2x) - (1 + 3x^2) = -2x - 3x^2 \] 2. A diferença entre o terceiro e o segundo termo: \[ r = a_3 - a_2 = (x^2 - 2x) - (1 - 2x) = x^2 - 1 \] Como ambos os resultados devem ser iguais (já que a sequência é uma PA), temos a seguinte equação: \[ -2x - 3x^2 = x^2 - 1 \] Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, vamos reorganizá-la: \[ -2x - 3x^2 - x^2 + 1 = 0 \] \[ -4x^2 - 2x + 1 = 0 \] Multiplicando toda a equação por -1 para simplificar: \[ 4x^2 + 2x - 1 = 0 \] Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 4 \), \( b = 2 \), e \( c = -1 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 4 + 16 = 20 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \] Agora que temos os valores de \( x \), precisamos encontrar a razão \( r \). Vamos usar um dos valores de \( x \) para calcular \( r \). Vamos usar \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \). Substituindo \( x \) na expressão para \( r \): \[ r = -2x - 3x^2 \] Primeiro, vamos calcular \( x^2 \): \[ x^2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{(-1 + \sqrt{5})^2}{16} = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8} \] Agora, substituindo \( x \) e \( x^2 \) na expressão de \( r \): \[ r = -2\left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\right) - 3\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{8}\right) \] \[ = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{4} - \frac{9 - 3\sqrt{5}}{8} \] \[ = \frac{4 - 4\sqrt{5}}{8} - \frac{9 - 3\sqrt{5}}{8} \] \[ = \frac{(4 - 4\sqrt{5}) - (9 - 3\sqrt{5})}{8} \] \[ = \frac{4 - 4\sqrt{5} - 9 + 3\sqrt{5}}{8} \] \[ = \frac{-5 - \sqrt{5}}{8} \] Agora, precisamos calcular \( \frac{1}{r} \): \[ \frac{1}{r} = \frac{8}{-5 - \sqrt{5}} \] Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador por \( -1 \): \[ \frac{1}{r} = \frac{-8}{5 + \sqrt{5}} \] Agora, podemos racionalizar o denominador: \[ \frac{1}{r} = \frac{-8(5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5})} = \frac{-8(5 - \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{-8(5 - \sqrt{5})}{20} = \frac{-2(5 - \sqrt{5})}{5} \] Portanto, a resposta final é: \[ \frac{1}{r} = \frac{-2(5 - \sqrt{5})}{5} \]