60. 타원면 $$ x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=1 $$ 의 어느 점에서 평면 $$ x+2 y+z $$ $$ =1 $$ 과 평행한 접평면을 가지는가?

Question

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타원면 $$ x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=1 $$의 접평면이 평면 $$ x+2y+z=1 $$과 평행하려면, 두 평면의 법선 벡터가 같거나 비례해야 합니다.

1. **타원면의 법선 벡터 구하기**:
   타원면의 방정식 $$ F(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + 2z^{2} - 1 = 0 $$의 그래디언트를 구합니다.
   $$
   \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 4z)
   $$

2. **평면의 법선 벡터**:
   평면 $$ x + 2y + z = 1 $$의 법선 벡터는 $$ (1, 2, 1) $$입니다.

3. **법선 벡터의 비례 관계**:
   두 법선 벡터가 비례하려면 다음과 같은 관계가 성립해야 합니다.
   $$
   (2x, 2y, 4z) = k(1, 2, 1)
   $$
   여기서 $$ k $$는 어떤 상수입니다. 이를 성분별로 나누면 다음과 같은 방정식을 얻습니다.
   $$
   2x = k \quad (1)
   $$
   $$
   2y = 2k \quad (2)
   $$
   $$
   4z = k \quad (3)
   $$

4. **상수 $$ k $$에 대한 표현**:
   (1)에서 $$ k = 2x $$를 얻고, (2)에서 $$ k = y $$를 얻습니다. (3)에서 $$ k = 4z $$를 얻습니다. 따라서,
   $$
   2x = y \quad (4)
   $$
   $$
   2x = 4z \quad (5) \implies z = \frac{x}{2} \quad (6)
   $$

5. **타원면의 방정식에 대입**:
   이제 (4)와 (6)을 타원면의 방정식 $$ x^{2} + y^{2} + 2z^{2} = 1 $$에 대입합니다.
   (4)에서 $$ y = 2x $$를 대입하고, (6)에서 $$ z = \frac{x}{2} $$를 대입하면,
   $$
   x^{2} + (2x)^{2} + 2\left(\frac{x}{2}\right)^{2} = 1
   $$
   $$
   x^{2} + 4x^{2} + 2\left(\frac{x^{2}}{4}\right) = 1
   $$
   $$
   x^{2} + 4x^{2} + \frac{x^{2}}{2} = 1
   $$
   $$
   5x^{2} + \frac{x^{2}}{2} = 1
   $$
   $$
   \frac{10x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} = 1
   $$
   $$
   \frac{11x^{2}}{2} = 1 \implies 11x^{2} = 2 \implies x^{2} = \frac{2}{11} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{11}}
   $$

6. **$$ y $$와 $$ z $$ 구하기**:
   $$ x = \sqrt{\frac{2}{11}} $$일 때,
   $$
   y = 2x = 2\sqrt{\frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{8}{11}}
   $$
   $$
   z = \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{\frac{2}{11}}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{11}}
   $$

$$ x = -\sqrt{\frac{2}{11}} $$일 때도 같은 방식으로 계산하면,
   $$
   y = -\sqrt{\frac{8}{11}}, \quad z = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{11}}
   $$

7. **결론**:
   따라서, 타원면 $$ x^{2}+y^{2}+2z^{2}=1 $$의 접평면이 평면 $$ x+2y+z=1 $$과 평행한 점은 다음과 같습니다.
   $$
   \left( \sqrt{\frac{2}{11}}, \sqrt{\frac{8}{11}}, \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{11}} \right) \quad \text{및} \quad \left( -\sqrt{\frac{2}{11}}, -\sqrt{\frac{8}{11}}, -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{11}} \right)
   $$
타원면 $$ x^{2}+y^{2}+2z^{2}=1 $$의 접평면이 평면 $$ x+2y+z=1 $$과 평행한 점은 $$\left( \sqrt{\frac{2}{11}}, \sqrt{\frac{8}{11}}, \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{11}} \right)$$ 및 $$\left( -\sqrt{\frac{2}{11}}, -\sqrt{\frac{8}{11}}, -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{11}} \right)$$입니다.

타원면 의 어느 점에서 평면
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