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Question

$Com quantos zeros termina o produto $ 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times $ $ 9 \times 10 \times 11 $, quando escrito na base 5 ?$

Com quantos zeros termina o produto $ 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times $ $ 9 \times 10 \times 11 $, quando escrito na base 5 ?

Ask by Boyd Rodriguez.

Dec 01,2024 19:06

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Answer

O produto termina com 2 zeros na base 5.

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Para determinar quantos zeros termina o produto $ 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 11 $ quando escrito na base 5, precisamos encontrar a quantidade de fatores de 5 que estão presentes neste produto (que é $ 11! $). O número de fatores de um primo $ p $ em $ n! $ é dado pela fórmula: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \] No nosso caso, $ n = 11 $ e $ p = 5 $. Então, precisamos calcular: \[ \left\lfloor \frac{11}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{11}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{11}{5^3} \right\rfloor + \cdots \] Calculando cada termo: 1. Para $ k = 1 $: \[ \left\lfloor \frac{11}{5} \right\rfloor = \left\lfloor 2.2 \right\rfloor = 2 \] 2. Para $ k = 2 $: \[ \left\lfloor \frac{11}{25} \right\rfloor = \left\lfloor 0.44 \right\rfloor = 0 \] 3. Para $ k \geq 3 $, como $ 5^3 = 125 > 11 $, todos os termos serão 0. Então, somamos os resultados: \[ 2 + 0 = 2 \] Portanto, o produto $ 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 11 $ termina com 2 zeros quando escrito na base 5.