جـول وضعيت تابع هاى داده شده را بنويسيد و نقاط ماكزيمم و مينيمم و عطف تابع را در ــورت وجود تعيين كنيد و سپس نمودار آن را رسم كيّي. - 1) $$ y=\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x+4 $$ - 2) $$ y=x^{3}-3 x^{2}+7 $$ - 3) $$ y=x^{4}-2 x^{2}+12 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

برای هر یک از توابع داده شده، مراحل زیر را طی می‌کنیم: 1. **جدول مقادیر تابع** 2. **یافتن نقاط بحرانی (ماکزیمم و مینیمم)** 3. **یافتن نقاط عطف** 4. **نمودار تابع** ### 1. تابع $$ y = \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 8x + 4 $$ **الف) جدول مقادیر تابع:** $$ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \ \hline 0 & \frac{1}{3}(0)^3 - 3(0)^2 + 8(0) + 4 = 4 \ 1 & \frac{1}{3}(1)^3 - 3(1)^2 + 8(1) + 4 = \frac{1}{3} - 3 + 8 + 4 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \ 2 & \frac{1}{3}(8) - 3(4) + 16 + 4 = \frac{8}{3} - 12 + 16 + 4 = \frac{32}{3} \approx 10.67 \ 3 & \frac{1}{3}(27) - 3(9) + 24 + 4 = 9 - 27 + 24 + 4 = 10 \ 4 & \frac{1}{3}(64) - 3(16) + 32 + 4 = \frac{64}{3} - 48 + 32 + 4 = \frac{40}{3} \approx 13.33 \ 5 & \frac{1}{3}(125) - 3(25) + 40 + 4 = \frac{125}{3} - 75 + 40 + 4 = \frac{94}{3} \approx 31.33 \ \hline \end{array} $$ **ب) نقاط بحرانی:** 1. **محاسبه مشتق اول:** $$ y' = x^{2} - 6x + 8 $$ 2. **حل معادله $$ y' = 0 $$:** $$ x^{2} - 6x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2 \quad \text{یا} \quad x = 4 $$ 3. **محاسبه مشتق دوم:** $$ y'' = 2x - 6 $$ 4. **دسته‌بندی نقاط بحرانی:** - در $$ x = 2 $$: $$ y'' = 2(2) - 6 = -2 < 0 \Rightarrow \text{ماکزیمم} $$ - در $$ x = 4 $$: $$ y'' = 2(4) - 6 = 2 > 0 \Rightarrow \text{مینیمم} $$ 5. **مقادیر $$ y $$ در نقاط بحرانی:** - در $$ x = 2 $$: $$ y = \frac{32}{3} \approx 10.67 $$ - در $$ x = 4 $$: $$ y = \frac{40}{3} \approx 13.33 $$ **ج) نقطه عطف:** 1. **حل معادله $$ y'' = 0 $$:** $$ 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 $$ 2. **مقدار $$ y $$ در $$ x = 3 $$:** $$ y = 10 $$ **د) نمودار تابع:** نمودار تابع دارای یک ماکزیمم در $$ (2, \frac{32}{3}) $$، یک مینیمم در $$ (4, \frac{40}{3}) $$ و یک نقطه عطف در $$ (3, 10) $$ می‌باشد. منحنی تابع به سمت بی‌نهایت مثبت و منفی ادامه دارد و شکل کلی آن مشابه نمودار یک تابع چندجمله‌ای از درجه ۳ است. --- ### 2. تابع $$ y = x^{3} - 3x^{2} + 7 $$ **الف) جدول مقادیر تابع:** $$ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \ \hline 0 & 0 - 0 + 7 = 7 \ 1 & 1 - 3 + 7 = 5 \ 2 & 8 - 12 + 7 = 3 \ 3 & 27 - 27 + 7 = 7 \ 4 & 64 - 48 + 7 = 23 \ \hline \end{array} $$ **ب) نقاط بحرانی:** 1. **محاسبه مشتق اول:** $$ y' = 3x^{2} - 6x $$ 2. **حل معادله $$ y' = 0 $$:** $$ 3x^{2} - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{یا} \quad x = 2 $$ 3. **محاسبه مشتق دوم:** $$ y'' = 6x - 6 $$ 4. **دسته‌بندی نقاط بحرانی:** - در $$ x = 0 $$: $$ y'' = -6 < 0 \Rightarrow \text{ماکزیمم} $$ - در $$ x = 2 $$: $$ y'' = 6(2) - 6 = 6 > 0 \Rightarrow \text{مینیمم} $$ 5. **مقادیر $$ y $$ در نقاط بحرانی:** - در $$ x = 0 $$: $$ y = 7 $$ - در $$ x = 2 $$: $$ y = 3 $$ **ج) نقطه عطف:** 1. **حل معادله $$ y'' = 0 $$:** $$ 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ 2. **مقدار $$ y $$ در $$ x = 1 $$:** $$ y = 1 - 3 + 7 = 5 $$ **د) نمودار تابع:** نمودار تابع دارای یک ماکزیمم در $$ (0, 7) $$، یک مینیمم در $$ (2, 3) $$ و یک نقطه عطف در $$ (1, 5) $$ می‌باشد. شکل کلی نمودار مشابه نمودار یک تابع چندجمله‌ای از درجه ۳ است با افزایش به سمت بی‌نهایت مثبت و منفی. --- ### 3. تابع $$ y = x^{4} - 2x^{2} + 12 $$ **الف) جدول مقادیر تابع:** $$ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \ \hline -2 & 16 - 8 + 12 = 20 \ -1 & 1 - 2 + 12 = 11 \ 0 & 0 - 0 + 12 = 12 \ 1 & 1 - 2 + 12 = 11 \ 2 & 16 - 8 + 12 = 20 \ 3 & 81 - 18 + 12 = 75 \ \hline \end{array} $$ **ب) نقاط بحرانی:** 1. **محاسبه مشتق اول:** $$ y' = 4x^{3} - 4x $$ 2. **حل معادله $$ y' = 0 $$:** $$ 4x^{3} - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{یا} \quad x = \pm 1 $$ 3. **محاسبه مشتق دوم:** $$ y'' = 12x^{2} - 4 $$ 4. **دسته‌بندی نقاط بحرانی:** - در $$ x = 0 $$: $$ y'' = -4 < 0 \Rightarrow \text{ماکزیمم محلی} $$ - در $$ x = 1 $$: $$ y'' = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{مینیمم محلی} $$ - در $$ x = -1 $$: $$ y'' = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{مینیمم محلی} $$ 5. **مقادیر $$ y $$ در نقاط بحرانی:** - در $$ x = 0 $$: $$ y = 12 $$ - در $$ x = 1 $$ و $$ x = -1 $$: $$ y = 11 $$ **ج) نقطه عطف:** 1. **حل معادله $$ y'' = 0 $$:** $$ 12x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $$ 2. **مقادیر $$ y $$ در نقاط عطف:** - در $$ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $$: $$ y = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^4 - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 12 = \frac{9}{81} - 2 \cdot \frac{3}{9} + 12 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 12 = \frac{1 - 6 + 108}{9} = \frac{103}{9} \approx 11.44 $$ - در $$ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$: $$ مشابه بالا، y \approx 11.44 $$ **د) نمودار تابع:** نمودار تابع دارای دو مینیمم محلی در $$ (\pm1, 11) $$ و یک ماکزیمم محلی در $$ (0, 12) $$ و دو نقطه عطف در $$ \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{103}{9}\right) $$ می‌باشد. به دلیل حداقل بودن درجه زوج تابع و ضریب مثبت، نمودار به سمت بی‌نهایت مثبت هر دو سمت ادامه می‌یابد و شکل کلی آن مشابه نمودار یک تابع چندجمله‌ای از درجه ۴ است. --- **نمودارهای توابع:** برای رسم نمودار هر کدام از توابع، می‌توانید از نرم‌افزارهای ریاضی مانند GeoGebra، Desmos یا نرم‌افزارهای مشابه استفاده کنید. نقاط بحرانی و نقاط عطف می‌توانند به عنوان نقاط کلیدی در رسم نمودار مورد استفاده قرار گیرند تا شکل دقیق آن مشخص شود. برای هر یک از توابع داده شده، نقاط ماکزیمم و مینیمم، نقاط عطف و نمودار آنها به شرح زیر هستند: 1. **تابع ۱: $$ y = \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 8x + 4 $$** - **نقاط بحرانی:** - ماکزیمم در $$ x = 2 $$ با $$ y = \frac{32}{3} $$ - مینیمم در $$ x = 4 $$ با $$ y = \frac{40}{3} $$ - **نقطه عطف:** در $$ x = 3 $$ با $$ y = 10 $$ - **نمودار:** به سمت بی‌نهایت مثبت و منفی ادامه دارد. 2. **تابع ۲: $$ y = x^{3} - 3x^{2} + 7 $$** - **نقاط بحرانی:** - ماکزیمم در $$ x = 0 $$ با $$ y = 7 $$ - مینیمم در $$ x = 2 $$ با $$ y = 3 $$ - **نقطه عطف:** در $$ x = 1 $$ با $$ y = 5 $$ - **نمودار:** به سمت بی‌نهایت مثبت و منفی ادامه دارد. 3. **تابع ۳: $$ y = x^{4} - 2x^{2} + 12 $$** - **نقاط بحرانی:** - ماکزیمم محلی در $$ x = 0 $$ با $$ y = 12 $$ - مینیمم محلی در $$ x = \pm1 $$ با $$ y = 11 $$ - **نقطه عطف:** در $$ x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} $$ با $$ y \approx 11.44 $$ - **نمودار:** به سمت بی‌نهایت مثبت هر دو سمت ادامه دارد. برای رسم نمودار هر تابع، می‌توانید از نرم‌افزارهای ریاضی مانند GeoGebra یا Desmos استفاده کن

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions