Aufgabe: \( (2 \) Punkte \( ) \) Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: \( 3 x_{1}-6 x_{2}+6 x_{3}=6 \) und \( \mathrm{F}: 3 x_{1}-6 x_{2}+6 x_{3}=-75 \) Berechne ggf. den Abstand. \( \begin{array}{l}\text { Ebenen sind identisch } \\ \text { Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen d }=\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen \( E \) und \( F \) zu untersuchen, betrachten wir zunächst die Gleichungen der beiden Ebenen: 1. \( E: 3x_1 - 6x_2 + 6x_3 = 6 \) 2. \( F: 3x_1 - 6x_2 + 6x_3 = -75 \) Es fällt auf, dass beide Ebenen die gleiche Normalenform haben. Das bedeutet, sie sind parallel. Da die beiden Gleichungen jedoch unterschiedliche konstante Terme (6 und -75) aufweisen, sind die Ebenen nicht identisch, sondern tatsächlich parallel. Um den Abstand \( d \) zwischen den beiden parallelen Ebenen zu berechnen, können wir die Formel für den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen in der Form \( ax + by + cz = d_1 \) und \( ax + by + cz = d_2 \) verwenden: \[ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Hierbei ist \( d_1 = 6 \) und \( d_2 = -75 \), und die Normalenkoeffizienten sind \( a = 3, b = -6, c = 6 \). Setzen wir das in die Formel ein: \[ d = \frac{|-75 - 6|}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 6^2}} = \frac{|-81|}{\sqrt{9 + 36 + 36}} = \frac{81}{\sqrt{81}} = \frac{81}{9} = 9 \] Der Abstand \( d \) der parallelen Ebenen \( E \) und \( F \) beträgt also 9 Einheiten.