$$ \begin{array}{lc} ext { B-2 } \ ext { 1. } & \log _{2}(x-2)(x-3)=1 \ ext { 2. } & \log _{2}(4-x)=7 \ ext { 3. } & \log _{5}(5-x)=\log _{5} 3 \ ext { 4. } & \log _{5} x^{2}=\log _{5}(x+7) \ ext { 5. } & \log _{\frac{1}{3}}(2 x-6)

Question

$$ \begin{array}{lc}	ext { B-2 } \ 	ext { 1. } & \log _{2}(x-2)(x-3)=1 \ 	ext { 2. } & \log _{2}(4-x)=7 \ 	ext { 3. } & \log _{5}(5-x)=\log _{5} 3 \ 	ext { 4. } & \log _{5} x^{2}=\log _{5}(x+7) \ 	ext { 5. } & \log _{\frac{1}{3}}(2 x-6)<\log _{\frac{1}{3}} x \ 	ext { 6. } \quad \log _{\frac{1}{3}}(x-1) \geq-2\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Конечно, вот решения приведённых логарифмических уравнений и неравенств: --- **1. $$ \log _{2}((x-2)(x-3)) = 1 $$** Решение: $$ \log_{2}((x-2)(x-3)) = 1 \ \Rightarrow (x-2)(x-3) = 2^{1} = 2 \ \Rightarrow x^{2} - 5x + 6 = 2 \ \Rightarrow x^{2} - 5x + 4 = 0 \ \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0 \ \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = 4 $$ Проверка допустимости: $$ x = 1: (1-2)(1-3) = (-1)(-2) = 2 > 0 \quad \text{(приемлемо)} \ x = 4: (4-2)(4-3) = (2)(1) = 2 > 0 \quad \text{(приемлемо)} $$ Ответ: $$ x = 1 $$ или $$ x = 4 $$. --- **2. $$ \log _{2}(4-x) = 7 $$** Решение: $$ \log_{2}(4 - x) = 7 \ \Rightarrow 4 - x = 2^{7} = 128 \ \Rightarrow -x = 124 \ \Rightarrow x = -124 $$ Проверка допустимости: $$ 4 - (-124) = 128 > 0 \quad \text{(приемлемо)} $$ Ответ: $$ x = -124 $$. --- **3. $$ \log _{5}(5 - x) = \log _{5} 3 $$** Решение: $$ \log_{5}(5 - x) = \log_{5} 3 \ \Rightarrow 5 - x = 3 \ \Rightarrow x = 2 $$ Проверка допустимости: $$ 5 - 2 = 3 > 0 \quad \text{(приемлемо)} $$ Ответ: $$ x = 2 $$. --- **4. $$ \log _{5} x^{2} = \log _{5}(x + 7) $$** Решение: $$ \log_{5} x^{2} = \log_{5}(x + 7) \ \Rightarrow x^{2} = x + 7 \ \Rightarrow x^{2} - x - 7 = 0 \ \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} $$ Проверка допустимости: $$ x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7 \ x \neq 0 \quad (\text{так как } \log_{5} 0 \text{ не определён}) \ Рассмотрим корни: $$ $$ x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx 3.19 > 0 \quad \text{(приемлемо)} \ x = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \approx -2.19 > -7 \quad \text{(приемлемо, но } x^{2} = (-2.19)^2 = 4.76 \neq x + 7 = 4.81 \text{, близко, но допустимо)} $$ Однако, точный анализ показывает, что оба решения удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: $$ x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} $$ или $$ x = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} $$. --- **5. $$ \log _{\frac{1}{3}}(2x - 6) < \log _{\frac{1}{3}} x $$** Решение: Основание логарифма $$ \frac{1}{3} $$ меньше 1, следовательно, неравенство меняет направление при сравнении аргументов: $$ 2x - 6 > x \quad (\text{неравенство изменило знак}) \ \Rightarrow x > 6 $$ При этом аргументы должны быть положительными: $$ 2x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3 \ x > 0 $$ Объединяя условия, получаем: $$ x > 6 $$ Ответ: $$ x > 6 $$. --- **6. $$ \log _{\frac{1}{3}}(x - 1) \geq -2 $$** Решение: Преобразуем неравенство: $$ \log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \geq -2 \ \Rightarrow x - 1 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 \quad (\text{так как основание } \frac{1}{3} < 1) \ \Rightarrow x \leq 10 $$ При этом аргумент логарифма должен быть положительным: $$ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 $$ Объединяя условия, получаем: $$ 1 < x \leq 10 $$ Ответ: $$ 1 < x \leq 10 $$. --- Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется разъяснение по какому-либо из заданий, пожалуйста, дайте знать! Решения логарифмических уравнений и неравенств: 1. $$ x = 1 $$ или $$ x = 4 $$ 2. $$ x = -124 $$ 3. $$ x = 2 $$ 4. $$ x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} $$ или $$ x = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} $$ 5. $$ x > 6 $$ 6. $$ 1 < x \leq 10 $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions