Answer
1. La derivada de \( \frac{3}{t} \) respecto a \( t \) es \( -\frac{3}{t^2} \) cuando \( \cos t = 1 \).
2. \( 2 - \frac{d}{dt}\left(t^{3} + 2t - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = -3e^{4} \) dado que \( \ln t = 2 \).
3. No existe una solución que cumpla \( 3 = \frac{d}{dx}\left(3x^{3} + x\right) \) y \( \ln x = 1 \) simultáneamente.
4. La derivada de \( \frac{10}{x} \) respecto a \( x \) es \( -\frac{10}{e^{4}} \) dado que \( \ln x = 2 \).
Solution
Claro, a continuación se presentan las soluciones a los ejercicios propuestos:
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**1. Calcular la derivada de \( \frac{3}{t} \) respecto a \( t \) dado que \( \cos t = 1 \).**
Primero, encontramos la derivada:
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{t}\right) = \frac{d}{dt}\left(3t^{-1}\right) = -3t^{-2} = -\frac{3}{t^2}
\]
Ahora, determinamos el valor de \( t \) cuando \( \cos t = 1 \). Sabemos que:
\[
\cos t = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 2\pi k, \quad \text{donde } k \in \mathbb{Z}
\]
Por lo tanto, la derivada evaluada en estos puntos es:
\[
-\frac{3}{(2\pi k)^2} = -\frac{3}{4\pi^2 k^2}
\]
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**2. Calcular \( 2 - \frac{d}{dt}\left(t^{3} + 2t - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \) dado que \( \ln t = 2 \).**
Primero, derivamos la expresión respecto a \( t \):
\[
\frac{d}{dt}\left(t^{3} + 2t - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 3t^{2} + 2 - 0 = 3t^{2} + 2
\]
Luego, sustituimos en la expresión inicial:
\[
2 - (3t^{2} + 2) = 2 - 3t^{2} - 2 = -3t^{2}
\]
Ahora, encontramos el valor de \( t \) a partir de \( \ln t = 2 \):
\[
\ln t = 2 \quad \Rightarrow \quad t = e^{2}
\]
Finalmente, sustituimos \( t \):
\[
-3t^{2} = -3(e^{2})^{2} = -3e^{4}
\]
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**3. Resolver la ecuación \( 3 = \frac{d}{dx}\left(3x^{3} + x\right) \) dado que \( \ln x = 1 \).**
Primero, encontramos la derivada:
\[
\frac{d}{dx}\left(3x^{3} + x\right) = 9x^{2} + 1
\]
Sustituimos en la ecuación dada:
\[
3 = 9x^{2} + 1 \quad \Rightarrow \quad 9x^{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = \frac{2}{9} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}
\]
Sin embargo, se nos da que \( \ln x = 1 \):
\[
\ln x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = e^{1} = e
\]
Comparando ambos resultados, observamos que no existe una solución que satisfaga simultáneamente \( x = e \) y \( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \). Por lo tanto, no hay un valor de \( x \) que cumpla ambas condiciones.
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**4. Calcular la derivada de \( \frac{10}{x} \) respecto a \( x \) dado que \( \ln x = 2 \).**
Primero, encontramos la derivada:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{10}{x}\right) = \frac{d}{dx}\left(10x^{-1}\right) = -10x^{-2} = -\frac{10}{x^{2}}
\]
Ahora, determinamos el valor de \( x \) a partir de \( \ln x = 2 \):
\[
\ln x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = e^{2}
\]
Finalmente, sustituimos \( x \):
\[
-\frac{10}{x^{2}} = -\frac{10}{(e^{2})^{2}} = -\frac{10}{e^{4}}
\]
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Espero que estas soluciones te sean de ayuda.
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