2. Uma escada de 8 m está apoiada em uma parede vertical. A base da escada escorrega horizontalmente à taxa constante de \( 0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). Determine a taxa de variação do deslocamento do topo da escada no instante em que este se encontar a 4 m do chão.

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Pitágoras e a regra da cadeia. A escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo, onde a escada é a hipotenusa, a altura da parede é um dos catetos e a distância da base da escada até a parede é o outro cateto. Seja \( x \) a distância da base da escada até a parede, e \( y \) a altura do topo da escada. Temos a relação: \[ x^2 + y^2 = 8^2 \] Diferenciando em relação ao tempo \( t \): \[ 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \] Sabendo que \( \frac{dx}{dt} = 0,2 \, \mathrm{m/s} \) e \( y = 4\, \mathrm{m} \), podemos encontrar \( x \) usando a relação de Pitágoras: \[ x^2 + 4^2 = 8^2 \] \[ x^2 + 16 = 64 \] \[ x^2 = 48 \] \[ x = 4\sqrt{3} \] Substituindo na equação diferenciada: \[ 2(4\sqrt{3})(0,2) + 2(4)\frac{dy}{dt} = 0 \] \[ 1.6\sqrt{3} + 8\frac{dy}{dt} = 0\] \[ \frac{dy}{dt} = -\frac{1.6\sqrt{3}}{8} \] \[ \frac{dy}{dt} = -0,2\sqrt{3} \] Portanto, a taxa de variação do deslocamento do topo da escada \( \frac{dy}{dt} \) quando o topo está a 4 m do chão é aproximadamente \( -0,346 \, \mathrm{m/s} \). Isso significa que o topo da escada está descendo a essa taxa enquanto a base escorrega para fora!