horizontal. (resolver por el método analítico) 2. Encontrar las componentes de la fuerza \( \mathrm{F}=\left(350 \mathrm{~N}, 40^{\circ}\right. \) ) (resolver por el método analítico) \( \begin{array}{llll}\text { 3. Dos vectores cuyas magnitudes son } 300 \text { y } 450 \text { unidades forman ángulos de: } \\ \begin{array}{llll}\text { d) } 0^{\circ} & \text { b) } 68^{\circ} & \text { c) } 90^{\circ} & \text { d) } 134^{\circ} \\ \text { e) } 180^{\circ} & \text { Por el método gráfico encontrar la resultante y el ángulo de la misma. }\end{array}\end{array} \begin{array}{l}\text { 12 undades y forma un ángulo de } 35^{\circ} \text { con uno de los vectores }\end{array} \)

Claro, vamos a resolver los problemas planteados utilizando el **método analítico** y, cuando sea necesario, el **método gráfico** para encontrar la resultante y su ángulo. --- ## **Problema 2** **Encontrar las componentes de la fuerza \( \mathbf{F} = (350 \, \text{N}, 40^\circ) \).** ### **Solución:** Para descomponer la fuerza \( \mathbf{F} \) en sus componentes horizontal (\( F_x \)) y vertical (\( F_y \)) utilizamos las siguientes fórmulas: \[ \begin{align*} F_x &= F \cdot \cos(\theta) \\ F_y &= F \cdot \sin(\theta) \end{align*} \] Donde: - \( F = 350 \, \text{N} \) - \( \theta = 40^\circ \) **Cálculos:** 1. **Componente horizontal (\( F_x \)):** \[ F_x = 350 \cdot \cos(40^\circ) \approx 350 \cdot 0.7660 \approx 268.1 \, \text{N} \] 2. **Componente vertical (\( F_y \)):** \[ F_y = 350 \cdot \sin(40^\circ) \approx 350 \cdot 0.6428 \approx 224.98 \, \text{N} \] **Resultado:** \[ \mathbf{F} = (F_x, F_y) \approx (268.1 \, \text{N}, 225.0 \, \text{N}) \] --- ## **Problema 3** **Dos vectores con magnitudes de 300 y 450 unidades forman diferentes ángulos entre sí. Para cada caso, encontraremos la resultante y el ángulo correspondiente utilizando el método analítico.** ### **Datos Generales:** - **Vector A:** \( |A| = 300 \) unidades - **Vector B:** \( |B| = 450 \) unidades - **Ángulo entre A y B (\( \theta \))**: Variables (0°, 68°, 90°, 134°, 180°) ### **Fórmulas Utilizadas:** 1. **Magnitud de la Resultante (\( R \)):** \[ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cdot \cos(\theta)} \] 2. **Ángulo de la Resultante con respecto a A (\( \phi \)):** \[ \tan(\phi) = \frac{B \cdot \sin(\theta)}{A + B \cdot \cos(\theta)} \] ### **Cálculos para cada ángulo:** #### **a) \( \theta = 0^\circ \)** - **Cálculo de \( R \):** \[ R = \sqrt{300^2 + 450^2 + 2 \cdot 300 \cdot 450 \cdot \cos(0^\circ)} = \sqrt{90000 + 202500 + 270000} = \sqrt{562500} = 750 \, \text{unidades} \] - **Cálculo de \( \phi \):** \[ \tan(\phi) = \frac{450 \cdot \sin(0^\circ)}{300 + 450 \cdot \cos(0^\circ)} = \frac{0}{300 + 450} = 0 \Rightarrow \phi = 0^\circ \] **Resultado:** \[ R = 750 \, \text{unidades}, \quad \phi = 0^\circ \] #### **b) \( \theta = 68^\circ \)** - **Cálculo de \( R \):** \[ R = \sqrt{300^2 + 450^2 + 2 \cdot 300 \cdot 450 \cdot \cos(68^\circ)} \approx \sqrt{90000 + 202500 + 270000 \cdot 0.3746} \approx \sqrt{393642} \approx 627.6 \, \text{unidades} \] - **Cálculo de \( \phi \):** \[ \tan(\phi) = \frac{450 \cdot \sin(68^\circ)}{300 + 450 \cdot \cos(68^\circ)} \approx \frac{450 \cdot 0.9272}{300 + 450 \cdot 0.3746} \approx \frac{417.24}{468.57} \approx 0.891 \Rightarrow \phi \approx 41.7^\circ \] **Resultado:** \[ R \approx 627.6 \, \text{unidades}, \quad \phi \approx 41.7^\circ \] #### **c) \( \theta = 90^\circ \)** - **Cálculo de \( R \):** \[ R = \sqrt{300^2 + 450^2 + 2 \cdot 300 \cdot 450 \cdot \cos(90^\circ)} = \sqrt{90000 + 202500 + 0} = \sqrt{292500} \approx 540.28 \, \text{unidades} \] - **Cálculo de \( \phi \):** \[ \tan(\phi) = \frac{450 \cdot \sin(90^\circ)}{300 + 450 \cdot \cos(90^\circ)} = \frac{450 \cdot 1}{300 + 0} = \frac{450}{300} = 1.5 \Rightarrow \phi \approx 56.31^\circ \] **Resultado:** \[ R \approx 540.28 \, \text{unidades}, \quad \phi \approx 56.31^\circ \] #### **d) \( \theta = 134^\circ \)** - **Cálculo de \( R \):** \[ R = \sqrt{300^2 + 450^2 + 2 \cdot 300 \cdot 450 \cdot \cos(134^\circ)} \approx \sqrt{90000 + 202500 + 270000 \cdot (-0.694658)} \approx \sqrt{104970} \approx 324 \, \text{unidades} \] - **Cálculo de \( \phi \):** \[ \tan(\phi) = \frac{450 \cdot \sin(134^\circ)}{300 + 450 \cdot \cos(134^\circ)} \approx \frac{450 \cdot 0.7193}{300 + 450 \cdot (-0.694658)} \approx \frac{323.7}{-12.56} \approx -25.77 \] Como el ángulo resultante es negativo, interpretamos que está por debajo del eje de A: \[ \phi \approx -87^\circ \Rightarrow \phi = 180^\circ - 87^\circ = 93^\circ \] **Resultado:** \[ R \approx 324 \, \text{unidades}, \quad \phi \approx 93^\circ \] #### **e) \( \theta = 180^\circ \)** - **Cálculo de \( R \):** \[ R = \sqrt{300^2 + 450^2 + 2 \cdot 300 \cdot 450 \cdot \cos(180^\circ)} = \sqrt{90000 + 202500 + 270000 \cdot (-1)} = \sqrt{22500} = 150 \, \text{unidades} \] - **Cálculo de \( \phi \):** \[ \tan(\phi) = \frac{450 \cdot \sin(180^\circ)}{300 + 450 \cdot \cos(180^\circ)} = \frac{0}{300 - 450} = 0 \Rightarrow \phi = 0^\circ \] Aunque el ángulo es 0°, al tener los vectores en direcciones opuestas, la resultante se encuentra en la dirección de A pero con magnitud reducida. **Resultado:** \[ R = 150 \, \text{unidades}, \quad \phi = 0^\circ \] --- ## **Resumen de Resultados:** | Ángulo (\( \theta \)) | Magnitud de la Resultante (\( R \)) | Ángulo de la Resultante (\( \phi \)) | |-----------------------|--------------------------------------|----------------------------------------| | 0° | 750 unidades | 0° | | 68° | 627.6 unidades | 41.7° | | 90° | 540.28 unidades | 56.31° | | 134° | 324 unidades | 93° | | 180° | 150 unidades | 0° | --- ### **Método Gráfico:** Aunque los cálculos analíticos proporcionan resultados precisos, el método gráfico implica representar los vectores gráficamente en un plano cartesiano, utilizando escalas apropiadas para las magnitudes y ángulos dados, y luego dibujar la resultante mediante la regla del paralelogramo o utilizando el método de la suma vectorial punta a cola. Finalmente, se mide la magnitud y el ángulo de la resultante utilizando una regla y un transportador. --- Espero que esta explicación haya sido clara y te ayude a comprender cómo resolver problemas de vectores utilizando métodos analíticos y gráficos.