Esencrio 12.2 Stabilire se i punti $$ A, B, C \in A^{3}(\mathbb{R}) $$ sono allineati. In caso altermativo, determinare la retta che passa per ensi, in caso negativo il piano che li oontiene: (h) $$ A=(3,0,-2) \quad B=(4,-1,-4) \quad C=(2,1,0) $$; (ii) $$ A=(2,2,2) \quad B=(1,1,-1) \quad C=(-1,2,3) $$;

Question

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Per determinare se i punti dati sono allineati (cioè collineari) o meno, analizziamo ciascun caso separatamente.

### (h) Punti $$ A=(3,0,-2) $$, $$ B=(4,-1,-4) $$, $$ C=(2,1,0) $$

1. **Calcoliamo i vettori $$\overrightarrow{AB}$$ e $$\overrightarrow{AC}$$:**
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (4-3, -1-0, -4-(-2)) = (1, -1, -2)
   $$
   $$
   \overrightarrow{AC} = C - A = (2-3, 1-0, 0-(-2)) = (-1, 1, 2)
   $$

2. **Verifichiamo se $$\overrightarrow{AB}$$ e $$\overrightarrow{AC}$$ sono collineari:**
   Se esiste uno scalare $$ k $$ tale che $$\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}$$, allora i punti sono allineati.
   
   $$
   (1, -1, -2) = k \cdot (-1, 1, 2)
   $$
   
   Risolvendo le componenti:
   $$
   1 = -k \quad \Rightarrow \quad k = -1
   $$
   $$
   -1 = k \quad \Rightarrow \quad k = -1
   $$
   $$
   -2 = 2k \quad \Rightarrow \quad k = -1
   $$
   
   Tutte le componenti confermano $$ k = -1 $$, quindi i vettori sono collineari.

3. **Conclusione:**
   I punti $$ A $$, $$ B $$ e $$ C $$ sono **allineati**.

4. **Determinazione dell'equazione della retta:**
   Utilizziamo il punto $$ A $$ e il vettore direttrice $$\overrightarrow{AB} = (1, -1, -2)$$.

L'equazione parametrica della retta è:
   $$
   \begin{cases}
   x = 3 + t \
   y = 0 - t \
   z = -2 - 2t
   \end{cases}
   $$
   
   Oppure in forma vettoriale:
   $$
   \vec{r}(t) = (3, 0, -2) + t \cdot (1, -1, -2)
   $$
   
   In forma simmetrica:
   $$
   \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 2}{-2}
   $$

---

### (ii) Punti $$ A=(2,2,2) $$, $$ B=(1,1,-1) $$, $$ C=(-1,2,3) $$

1. **Calcoliamo i vettori $$\overrightarrow{AB}$$ e $$\overrightarrow{AC}$$:**
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (1-2, 1-2, -1-2) = (-1, -1, -3)
   $$
   $$
   \overrightarrow{AC} = C - A = (-1-2, 2-2, 3-2) = (-3, 0, 1)
   $$

2. **Verifichiamo se $$\overrightarrow{AB}$$ e $$\overrightarrow{AC}$$ sono collineari:**
   Cerchiamo uno scalare $$ k $$ tale che $$\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}$$.
   
   $$
   (-1, -1, -3) = k \cdot (-3, 0, 1)
   $$
   
   Dalla prima componente:
   $$
   -1 = -3k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{3}
   $$
   
   Dalla seconda componente:
   $$
   -1 = 0 \cdot k \quad \Rightarrow \quad -1 = 0 \quad (\text{Contraddizione})
   $$
   
   Poiché non esiste uno scalare $$ k $$ che soddisfi tutte le componenti, i vettori non sono collineari.

3. **Conclusione:**
   I punti $$ A $$, $$ B $$ e $$ C $$ **non sono allineati**.

4. **Determinazione del piano che contiene i punti:**
   
   a. **Calcoliamo il vettore normale al piano tramite il prodotto vettoriale $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$:**
   $$
   \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   -1 & -1 & -3 \
   -3 & 0 & 1
   \end{vmatrix}
   = \mathbf{i}((-1)(1) - (-3)(0)) - \mathbf{j}((-1)(1) - (-3)(-3)) + \mathbf{k}((-1)(0) - (-1)(-3))
   $$
   $$
   = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-1 - 9) + \mathbf{k}(0 - 3)
   $$
   $$
   = -\mathbf{i} + 10\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
   $$
   $$
   \overrightarrow{n} = (-1, 10, -3)
   $$
   
   b. **Equazione del piano:**
   
   Utilizziamo il punto $$ A=(2,2,2) $$ e il vettore normale $$\overrightarrow{n} = (-1, 10, -3)$$:
   $$
   -1(x - 2) + 10(y - 2) - 3(z - 2) = 0
   $$
   $$
   -x + 2 + 10y - 20 - 3z + 6 = 0
   $$
   $$
   -x + 10y - 3z - 12 = 0
   $$
   Possiamo riscrivere l'equazione del piano in forma standard:
   $$
   x - 10y + 3z = -12
   $$

**Equazione del piano:** $$ x - 10y + 3z = -12 $$
### (h) Punti $$ A=(3,0,-2) $$, $$ B=(4,-1,-4) $$, $$ C=(2,1,0) $$ - **Verifica allineamento:** I punti sono **allineati**. - **Equazione della retta:** $$ \begin{cases} x = 3 + t \ y = 0 - t \ z = -2 - 2t \end{cases} $$ o in forma vettoriale: $$ \vec{r}(t) = (3, 0, -2) + t \cdot (1, -1, -2) $$ o in forma simmetrica: $$ \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 2}{-2} $$ --- ### (ii) Punti $$ A=(2,2,2) $$, $$ B=(1,1,-1) $$, $$ C=(-1,2,3) $$ - **Verifica allineamento:** I punti **non sono allineati**. - **Equazione del piano:** $$ x - 10y + 3z = -12 $$

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