$$ \cos x \leq 2 \sin ( x + \frac { \pi } { 4 } ) $$

Question

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Per risolvere l'inequazione:

$$
\cos x \leq 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)
$$

seguiremo i passaggi dettagliati di seguito.

### Passaggio 1: Espandere il termine sinusoidale

Utilizziamo la formula di somma per il seno:

$$
\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}
$$

Poiché $$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, otteniamo:

$$
2 \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)
$$

### Passaggio 2: Riscrivere l'inequazione

L'inequazione diventa:

$$
\cos x \leq \sqrt{2} (\sin x + \cos x)
$$

Portiamo tutti i termini al lato sinistro:

$$
0 \leq \sqrt{2} \sin x + (\sqrt{2} - 1) \cos x
$$

### Passaggio 3: Rappresentare come un'unica funzione sinusoidale

Possiamo esprimere $$\sqrt{2} \sin x + (\sqrt{2} - 1) \cos x$$ nella forma $$R \sin(x + \varphi)$$, dove:

$$
R = \sqrt{ (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} - 1)^2 } = \sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}
$$

e l'angolo $$\varphi$$ è dato da:

$$
\tan \varphi = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}
$$

### Passaggio 4: Risolvere l'inequazione sinusoidale

L'inequazione diventa:

$$
R \sin(x + \varphi) \geq 0
$$

Dato che $$R > 0$$, possiamo semplificare a:

$$
\sin(x + \varphi) \geq 0
$$

Questa disuguaglianza è soddisfatta quando:

$$
x + \varphi \in [0, \pi] + 2k\pi \quad \text{per ogni intero } k
$$

Ovvero:

$$
x \in [-\varphi + 2k\pi, \pi - \varphi + 2k\pi] \quad \text{per ogni intero } k
$$

### Passaggio 5: Esplicitare la soluzione

Sostituendo $$\varphi = \arctan\left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right)$$, la soluzione generale dell'inequazione è:

$$
x \in \left[ -\arctan\left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi, \ \pi - \arctan\left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi \right] \quad \text{per ogni intero } k
$$

### Conclusione

L'insieme delle soluzioni dell'inequazione $$\cos x \leq 2 \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$ è dato da tutti i valori di $$x$$ che appartengono agli intervalli:

$$
\left[ -\arctan\left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi, \ \pi - \arctan\left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi \right] \quad \text{per ogni intero } k
$$

dove $$k$$ è qualsiasi intero positivo o negativo.
L'inequazione $$\cos x \leq 2 \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$ ha soluzioni per $$x$$ nei seguenti intervalli: $$ x \in \left[ -\arctan\left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi, \ \pi - \arctan\left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi \right] \quad \text{per ogni intero } k $$ dove $$k$$ è qualsiasi intero positivo o negativo.

\( \cos x \leq 2 \sin ( x + \frac { \pi } { 4 } ) \)

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