19. Sic $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{x+y} $$ Calcallar: $$ E=\frac{x^{2}-y^{2}}{x y}+\frac{x y}{x+y}+\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}} $$

Question

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Para resolver el problema dado:

### Dado:
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{x + y}
$$
Queremos calcular:
$$
E = \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} + \frac{x y}{x + y} + \frac{(x + y)^{2}}{x^{2}}
$$

### Paso 1: Simplificar la ecuación dada
Empezamos simplificando la ecuación inicial:
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{x + y}
$$
Multiplicamos ambos lados por $$x y (x + y)$$ para eliminar los denominadores:
$$
(y + x) = 4 y x \Rightarrow (x + y)^2 = 4 x y
$$
Esto implica:
$$
x^2 + 2xy + y^2 = 4xy \Rightarrow x^2 - 2xy + y^2 = 0 \Rightarrow (x - y)^2 = 0 \Rightarrow x = y
$$

### Paso 2: Sustituir $$y = x$$ en la expresión de $$E$$
Dado que $$x = y$$, sustituimos en $$E$$:
$$
E = \frac{x^{2} - x^{2}}{x \cdot x} + \frac{x \cdot x}{x + x} + \frac{(x + x)^{2}}{x^{2}}
$$
Simplificando cada término:
$$
E = \frac{0}{x^2} + \frac{x^2}{2x} + \frac{4x^2}{x^2} = 0 + \frac{x}{2} + 4
$$
Por lo tanto:
$$
E = \frac{x}{2} + 4
$$

### Resultado Final
La expresión $$E$$ en términos de $$x$$ es:
$$
E = \frac{x}{2} + 4
$$
La expresión $$E$$ es $$ \frac{x}{2} + 4 $$.

Sic
Calcallar:

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Answer

Solution

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