19. Sic \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{x+y} \) Calcallar: \( E=\frac{x^{2}-y^{2}}{x y}+\frac{x y}{x+y}+\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}} \)

Para resolver el problema dado: ### Dado: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{x + y} \] Queremos calcular: \[ E = \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} + \frac{x y}{x + y} + \frac{(x + y)^{2}}{x^{2}} \] ### Paso 1: Simplificar la ecuación dada Empezamos simplificando la ecuación inicial: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{x + y} \] Multiplicamos ambos lados por \(x y (x + y)\) para eliminar los denominadores: \[ (y + x) = 4 y x \Rightarrow (x + y)^2 = 4 x y \] Esto implica: \[ x^2 + 2xy + y^2 = 4xy \Rightarrow x^2 - 2xy + y^2 = 0 \Rightarrow (x - y)^2 = 0 \Rightarrow x = y \] ### Paso 2: Sustituir \(y = x\) en la expresión de \(E\) Dado que \(x = y\), sustituimos en \(E\): \[ E = \frac{x^{2} - x^{2}}{x \cdot x} + \frac{x \cdot x}{x + x} + \frac{(x + x)^{2}}{x^{2}} \] Simplificando cada término: \[ E = \frac{0}{x^2} + \frac{x^2}{2x} + \frac{4x^2}{x^2} = 0 + \frac{x}{2} + 4 \] Por lo tanto: \[ E = \frac{x}{2} + 4 \] ### Resultado Final La expresión \(E\) en términos de \(x\) es: \[ E = \frac{x}{2} + 4 \]