61 Una biglia colpisce con una velocità di una secon-
da biglia ferma, di massa tre volte più piccola. Dopo l’ur-
to, che è elastico, le due biglie si muovono lungo la stessa
direzione da cui proveniva la prima.
Calcola le velocità finali delle due biglie.
[2 m/s

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Jan 10,2025

Question

61 Una biglia colpisce con una velocità di una secon-
da biglia ferma, di massa tre volte più piccola. Dopo l’ur-
to, che è elastico, le due biglie si muovono lungo la stessa
direzione da cui proveniva la prima.
Calcola le velocità finali delle due biglie.
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Per risolvere il problema delle collisioni elastiche tra due biglie, utilizziamo le formule della conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica. Consideriamo le due biglie coinvolte nella collisione:

- **Biglia A**:
  - Massa: $$ m_A = m $$
  - Velocità iniziale: $$ u_A = 4 \ \mathrm{m/s} $$

- **Biglia B**:
  - Massa: $$ m_B = \frac{m}{3} $$ (tre volte più piccola di $$ m_A $$)
  - Velocità iniziale: $$ u_B = 0 \ \mathrm{m/s} $$ (ferma)

Dopo la collisione elastica, le velocità finali delle biglie saranno $$ v_A $$ e $$ v_B $$.

### Passaggio 1: Conservazione della Quantità di Moto

La quantità di moto totale prima della collisione deve essere uguale a quella dopo la collisione:

$$
m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B
$$

Sostituendo i valori noti:

$$
m \cdot 4 + \frac{m}{3} \cdot 0 = m v_A + \frac{m}{3} v_B
$$

$$
4m = m v_A + \frac{m}{3} v_B
$$

Dividendo entrambi i lati per $$ m $$:

$$
4 = v_A + \frac{v_B}{3} \quad \text{(1)}
$$

### Passaggio 2: Conservazione dell'Energia Cinetica

L'energia cinetica totale prima della collisione deve essere uguale a quella dopo la collisione:

$$
\frac{1}{2} m_A u_A^2 + \frac{1}{2} m_B u_B^2 = \frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2
$$

Sostituendo i valori noti:

$$
\frac{1}{2} m \cdot (4)^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{3} \cdot 0^2 = \frac{1}{2} m v_A^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{3} v_B^2
$$

$$
8m = \frac{1}{2} m v_A^2 + \frac{1}{6} m v_B^2
$$

Dividendo entrambi i lati per $$ \frac{m}{2} $$:

$$
16 = v_A^2 + \frac{v_B^2}{3} \quad \text{(2)}
$$

### Passaggio 3: Risoluzione del Sistema di Equazioni

Dalle equazioni (1) e (2), risolviamo per $$ v_A $$ e $$ v_B $$.

Dall'equazione (1):

$$
v_A = 4 - \frac{v_B}{3}
$$

Sostituiamo $$ v_A $$ nell'equazione (2):

$$
16 = \left(4 - \frac{v_B}{3}\right)^2 + \frac{v_B^2}{3}
$$

Espandiamo il quadrato:

$$
16 = 16 - \frac{8v_B}{3} + \frac{v_B^2}{9} + \frac{v_B^2}{3}
$$

Combiniamo i termini simili:

$$
16 = 16 - \frac{8v_B}{3} + \frac{4v_B^2}{9}
$$

Semplifichiamo:

$$
0 = -\frac{8v_B}{3} + \frac{4v_B^2}{9}
$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per 9 per eliminare i denominatori:

$$
0 = -24v_B + 4v_B^2
$$

Riorganizziamo:

$$
4v_B^2 - 24v_B = 0
$$

Fattorizziamo:

$$
4v_B(v_B - 6) = 0
$$

Quindi, le soluzioni sono:

$$
v_B = 0 \quad \text{oppure} \quad v_B = 6 \ \mathrm{m/s}
$$

Poiché $$ v_B = 0 $$ corrisponderebbe a nessun movimento dopo la collisione, scartiamo questa soluzione. Quindi:

$$
v_B = 6 \ \mathrm{m/s}
$$

Sostituendo questo valore nell'equazione per $$ v_A $$:

$$
v_A = 4 - \frac{6}{3} = 4 - 2 = 2 \ \mathrm{m/s}
$$

### Risultato Finale

Le velocità finali delle due biglie dopo la collisione elastica sono:

- **Biglia A**: $$ v_A = 2 \ \mathrm{m/s} $$
- **Biglia B**: $$ v_B = 6 \ \mathrm{m/s} $$
Le biglie hanno le seguenti velocità dopo l'urto: - Biglia A: 2 m/s - Biglia B: 6 m/s

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da biglia ferma, di massa tre volte più piccola. Dopo l’ur-
to, che è elastico, le due biglie si muovono lungo la stessa
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