EXERCICE 3 Le plan est muni d'un repère orthonormé \( (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) \). L'unité graphique est : 2 cm . On donne la fonction \( f \) définie sur \( ] 0 ;+\infty[ \) par : \( f(x)=-x+3+\ln (x) \). On désigne par : - (C), la courbe représentative de \( f \) dans le plan muni du repére orthonormé (O, I, J). * (T), la tangente à (C) au point d'abscisse 2 . Partic A 1. a) Calcule \( f(1) \) b) Calcule \( ((4,50) \) et \( f(4,51) \) et donne les resultats arrondis a l'ordre 3 . 2. a) Justifie que : \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty \), \( >0 \) b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu. 3. On admettra que pour tout nombre réel strictement positif, \( f(x)=x\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right) \). Calcule: \( \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \). Partie B 1. On admet que \( f \) est dérivable sur \( ] 0 ;+\infty[ \) - Vérifie que, pour tout nombre réel \( x \) strictement positif, \( f^{\prime}(x)=\frac{-x+1}{x} \). 2. a) Etudie les variations de \( f \). b) Dresse le tableau de variations de \( f \). 3. Détermine une bquation de (T). 4. Justifie que l'équation \( f(x)=0 \), admet une solution unique dans ]'intervalle ] 4,\( 50 ; 4,51 \) [-

**EXERCICE 3** Le plan est muni d’un repère orthonormé \( (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) \). L’unité graphique est : 2 cm. On considère la fonction \( f \) définie sur \( ]0 ; +\infty[ \) par : \[ f(x) = -x + 3 + \ln(x) \] On désigne par : - \( (C) \), la courbe représentative de \( f \) dans le plan. - \( (T) \), la tangente à \( (C) \) au point d’abscisse 2. ### **Partie A** #### **1. a) Calcul de \( f(1) \)** Calculons \( f(1) \) : \[ f(1) = -1 + 3 + \ln(1) = -1 + 3 + 0 = 2 \] **Réponse :** \( f(1) = 2 \) #### **1. b) Calcul de \( f(4,50) \) et \( f(4,51) \) arrondis à l’ordre des milleièmes** Calculons \( f(4,50) \) et \( f(4,51) \). 1. **Pour \( x = 4,50 \)** : \[ f(4,50) = -4,50 + 3 + \ln(4,50) \] Calculons \( \ln(4,50) \) : \[ \ln(4,50) \approx 1,504077 \] Donc : \[ f(4,50) \approx -4,50 + 3 + 1,504077 = 0,004077 \approx 0,004 \] 2. **Pour \( x = 4,51 \)** : \[ f(4,51) = -4,51 + 3 + \ln(4,51) \] Calculons \( \ln(4,51) \) : \[ \ln(4,51) \approx 1,509836 \] Donc : \[ f(4,51) \approx -4,51 + 3 + 1,509836 = -4,51 + 4,509836 = -0,000164 \approx -0,000 \] **Réponses :** \[ f(4,50) \approx 0,004 \] \[ f(4,51) \approx -0,000 \] #### **2. a) Justification que \( \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = -\infty \)** Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 0 par valeurs positives. \[ f(x) = -x + 3 + \ln(x) \] Lorsque \( x \rightarrow 0^+ \) : - \( -x \) tend vers 0. - \( 3 \) reste constant. - \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \). Ainsi : \[ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 0 + 3 + (-\infty) = -\infty \] **Justification :** Lorsque \( x \) approche 0 par valeurs positives, le terme \( \ln(x) \) domine et tend vers \( -\infty \), ce qui entraîne \( f(x) \) vers \( -\infty \). #### **2. b) Interprétation graphique du résultat obtenu** **Interprétation graphique :** Le résultat \( \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = -\infty \) indique que la courbe \( (C) \) de la fonction \( f \) tend vers le bas sans limite à mesure que \( x \) approche 0 par valeurs positives. Graphiquement, cela signifie que la courbe \( (C) \) se dirige verticalement vers le bas près de l’axe des ordonnées (près de \( x = 0 \)). #### **3. Calcul de \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \)** On nous donne : \[ f(x) = x\left(-1 + \frac{3}{x} + \frac{\ln(x)}{x}\right) \] Calculons la limite lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ x \left( -1 + \frac{3}{x} + \frac{\ln(x)}{x} \right) \right] \] Simplifions l’expression : \[ f(x) = -x + 3 + \ln(x) \] Analysons le comportement des termes : - \( -x \) tend vers \( -\infty \). - \( 3 \) est constant. - \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \), mais plus lentement que \( x \). Ainsi : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} (-x + 3 + \ln(x)) = -\infty \] **Réponse :** \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty \] ### **Partie B** #### **1. Vérification de la dérivée de \( f \)** On nous admet que \( f \) est dérivable sur \( ]0 ; +\infty[ \). Calculons la dérivée de \( f(x) = -x + 3 + \ln(x) \) : \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (-x) + \frac{d}{dx} (3) + \frac{d}{dx} (\ln(x)) = -1 + 0 + \frac{1}{x} = -1 + \frac{1}{x} = \frac{-x + 1}{x} \] **Vérification :** \[ f'(x) = \frac{-x + 1}{x} \] Ceci correspond bien à ce qui est demandé. #### **2. a) Étude des variations de \( f \)** Étudions le signe de \( f'(x) \) pour déterminer les variations de \( f \). \[ f'(x) = \frac{-x + 1}{x} = \frac{1 - x}{x} \] Le signe de \( f'(x) \) dépend du signe de \( 1 - x \) et de \( x \). Comme \( x > 0 \) : - Si \( 1 - x > 0 \) alors \( x < 1 \) : \( f'(x) > 0 \). - Si \( 1 - x < 0 \) alors \( x > 1 \) : \( f'(x) < 0 \). - Si \( x = 1 \), \( f'(1) = 0 \). **Conclusion des variations :** - **Sur \( ]0 ; 1[ \)** : \( f' > 0 \) ⇒ \( f \) est croissante. - **En \( x = 1 \)** : \( f' = 0 \) ⇒ Extremum local. - **Sur \( ]1 ; +\infty[ \)** : \( f' < 0 \) ⇒ \( f \) est décroissante. #### **2. b) Tableau de variations de \( f \)** | \( x \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | |------------------|------------------|-----------------|-----------------| | Signe de \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | | Variation de \( f(x) \) | Croissante | Décroissante | **Tableau de variations :** \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \text{Croissante} & \text{Maximum} & \text{Décroissante} \\ \hline \end{array} \] **Interprétation :** - La fonction \( f \) est croissante sur \( ]0 ; 1[ \), atteint un maximum en \( x = 1 \), puis est décroissante sur \( ]1 ; +\infty[ \). #### **3. Détermination d'une équation de \( (T) \), la tangente en \( x = 2 \)** Pour déterminer l’équation de la tangente \( (T) \) à la courbe \( (C) \) au point d’abscisse \( 2 \), nous avons besoin : - Du point \( (2, f(2)) \). - De la pente \( f'(2) \). 1. **Calcul de \( f(2) \)** : \[ f(2) = -2 + 3 + \ln(2) = 1 + \ln(2) \approx 1 + 0,693147 = 1,693147 \] 2. **Calcul de \( f'(2) \)** : \[ f'(2) = \frac{-2 + 1}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5 \] 3. **Équation de la tangente \( (T) \)** : L’équation d’une tangente au point \( (a, f(a)) \) est : \[ y = f(a) + f'(a)(x - a) \] Ici, \( a = 2 \), donc : \[ y = 1,693147 + (-0,5)(x - 2) \] Simplifions : \[ y = 1,693147 - 0,5x + 1 = 2,693147 - 0,5x \] Arrondi à trois décimales : \[ y \approx 2,693 - 0,500x \] **Équation de \( (T) \) :** \[ y = -0,5x + 2,693 \] #### **4. Justification de l’unicité de la solution de \( f(x) = 0 \) dans l’intervalle \( ]4,50 ; 4,51[ \)** Nous devons montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique dans l'intervalle \( ]4,50 ; 4,51[ \). 1. **Analyse des valeurs de \( f \) :** Nous avons calculé précédemment : \[ f(4,50) \approx 0,004 \] \[ f(4,51) \approx -0,000 \] Ainsi : \[ f(4,50) > 0 \quad \text{et} \quad f(4,51) < 0 \] 2. **Application du théorème de la valeur intermédiaire :** La fonction \( f \) est continue sur \( ]0 ; +\infty[ \), notamment sur \( ]4,50 ; 4,51[ \). Comme \( f(4,50) > 0 \) et \( f(4,51) < 0 \), il existe au moins une solution \( c \) dans \( ]4,50 ; 4,51[ \) telle que \( f(c) = 0 \). 3. **Monotonie de \( f \) sur \( ]1 ; +\infty[ \) :** La dérivée \( f'(x) = \frac{1 - x}{x} \). Pour \( x > 1 \), \( f'(x) < 0 \), donc \( f \) est strictement décroissante sur \( ]1 ; +\infty[ \). 4. **Conclusion sur l'unicité :** Une fonction strictement décroissante admet au plus une solution à l’équation \( f(x) = 0 \) dans tout intervalle où elle est définie. Puisque nous avons déjà montré qu’il existe une solution dans \( ]4,50 ; 4,51[ \), celle-ci est unique. **Justification :** La fonction \( f \) est continue et strictement décroissante sur \( ]4,50 ; 4,51[ \), avec \( f(4,50) > 0 \) et \( f(4,51) < 0 \). Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution \( c \) dans cet intervalle telle que \( f(c) = 0 \).