2260 Di un parallelogramma \( A B C D \) si conoscono il ver- tice \( A(-2,-2) \) e i punti medi \( M(2,-1) \) e \( N(-1,0) \), rispet- tivamente del lato \( A B \) e del lato \( A D \). Determina: a. le coordinate dei vertici \( B, C \) e \( D \); b. l'area e il perimetro del parallelogramma.

### Soluzione **a. Determinazione delle coordinate dei vertici \( B, C \) e \( D \):** 1. **Trovare le coordinate di \( B \):** Sappiamo che \( M(2, -1) \) è il punto medio di \( A(-2, -2) \) e \( B \). Possiamo usare le formule del punto medio: \[ M_x = \frac{A_x + B_x}{2} \quad \text{e} \quad M_y = \frac{A_y + B_y}{2} \] \[ 2 = \frac{-2 + B_x}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 + B_x = 4 \quad \Rightarrow \quad B_x = 6 \] \[ -1 = \frac{-2 + B_y}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 + B_y = -2 \quad \Rightarrow \quad B_y = 0 \] Quindi, \( B(6, 0) \). 2. **Trovare le coordinate di \( D \):** Sappiamo che \( N(-1, 0) \) è il punto medio di \( A(-2, -2) \) e \( D \): \[ -1 = \frac{-2 + D_x}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 + D_x = -2 \quad \Rightarrow \quad D_x = 0 \] \[ 0 = \frac{-2 + D_y}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 + D_y = 0 \quad \Rightarrow \quad D_y = 2 \] Quindi, \( D(0, 2) \). 3. **Trovare le coordinate di \( C \):** In un parallelogramma, il vertice \( C \) può essere trovato usando la relazione \( C = B + D - A \): \[ C_x = 6 + 0 - (-2) = 8 \] \[ C_y = 0 + 2 - (-2) = 4 \] Quindi, \( C(8, 4) \). **Risultato per la parte a:** \[ B(6, 0), \quad C(8, 4), \quad D(0, 2) \] --- **b. Calcolo dell'area e del perimetro del parallelogramma:** 1. **Calcolo del perimetro:** Il perimetro di un parallelogramma è dato dalla somma dei lati moltiplicata per 2. Calcoliamo le lunghezze dei lati \( AB \) e \( AD \). - **Lunghezza di \( AB \):** \[ AB = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \] - **Lunghezza di \( AD \):** \[ AD = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] - **Perimetro:** \[ P = 2(AB + AD) = 2(2\sqrt{17} + 2\sqrt{5}) = 4\sqrt{17} + 4\sqrt{5} \] 2. **Calcolo dell'area:** L'area di un parallelogramma può essere calcolata usando il prodotto vettoriale dei vettori \( \vec{AB} \) e \( \vec{AD} \): \[ \vec{AB} = (6 - (-2), 0 - (-2)) = (8, 2) \] \[ \vec{AD} = (0 - (-2), 2 - (-2)) = (2, 4) \] \[ \text{Area} = |\vec{AB}_x \cdot \vec{AD}_y - \vec{AB}_y \cdot \vec{AD}_x| = |8 \cdot 4 - 2 \cdot 2| = |32 - 4| = 28 \] **Risultato per la parte b:** \[ \text{Area} = 28 \, \text{unità quadrate} \] \[ \text{Perimetro} = 4\sqrt{17} + 4\sqrt{5} \, \text{unità} \]