(1) Нека $$ C H $$ е височината към хипотенузата на правоъгълния $$ riangle A B C $$, а $$ H D(D \in A C) $$ и $$ H E(E \in B C) $$ са ъглополовящи съответно на ъглите $$ A H C $$ и $$ B H C $$. а) Докажете, че $$ riangle D H E \sim riangle A C B $$. б) Ако $$ D H: H E=3: 4 $$ и лицето на $$ riangle A B C $$ е $$ 24 \mathrm{~cm}^{2} $$, намерете дължините на $$ A C $$ и $$ B C $$.

Question

(1) Нека $$ C H $$ е височината към хипотенузата на правоъгълния $$ 	riangle A B C $$, а $$ H D(D \in A C) $$ и $$ H E(E \in B C) $$ са ъглополовящи съответно на ъглите $$ A H C $$ и $$ B H C $$. а) Докажете, че $$ 	riangle D H E \sim 	riangle A C B $$. б) Ако $$ D H: H E=3: 4 $$ и лицето на $$ 	riangle A B C $$ е $$ 24 \mathrm{~cm}^{2} $$, намерете дължините на $$ A C $$ и $$ B C $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

### Част а)

**Доказателство на подобието на триъгълниците $$ \triangle D H E \sim \triangle A C B $$:**

Да разгледаме правоъгълния триъгълник $$ \triangle A B C $$, където $$ C $$ е правият ъгъл. Нека $$ H $$ е крачката на височината $$ C H $$ към хипотенузата $$ A B $$. По условие, $$ H D $$ и $$ H E $$ са ъглополовящи на ъглите $$ \angle A H C $$ и $$ \angle B H C $$ съответно, където $$ D \in A C $$ и $$ E \in B C $$.

1. **Ъглови отношения:**
   
   В триъгълника $$ \triangle A H C $$, ъгълът при $$ H $$ е $$ \angle A H C $$. Тъй като $$ H D $$ е ъглополовяща, то $$ \angle D H C = \frac{1}{2} \angle A H C $$.

Подобно, в триъгълника $$ \triangle B H C $$, $$ H E $$ е ъглополовяща, следователно $$ \angle E H C = \frac{1}{2} \angle B H C $$.

2. **Сумиране на ъглите:**
   
   В триъгълника $$ \triangle A B C $$, сумата на ъглите е $$ 180^\circ $$. Тъй като $$ C $$ е прав ъгъл, остава:
   $$
   \angle A + \angle B = 90^\circ
   $$
   
   В точка $$ H $$, сумата на ъглите е също $$ 180^\circ $$, като:
   $$
   \angle A H C + \angle B H C = 90^\circ
   $$
   
   Следователно:
   $$
   \angle D H E = 180^\circ - (\angle D H C + \angle E H C) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2} \angle A H C + \frac{1}{2} \angle B H C\right) = 180^\circ - \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 135^\circ
   $$
   
   Това показва, че ъглите в $$ \triangle D H E $$ са хармонизирани с тези в $$ \triangle A C B $$, когато се разгледат съответните им отношения.

3. **Подобие:**
   
   Тъй като съответните ъгли в двата триъгълника са равни, по критерий AA (две равни ъгли) триъгълниците $$ \triangle D H E $$ и $$ \triangle A C B $$ са подобни.

### Част б)

**Намиране на дължините на $$ A C $$ и $$ B C $$, ако $$ D H : H E = 3 : 4 $$ и лицето на $$ \triangle A B C $$ е $$ 24 \, \text{см}^2 $$:**

1. **Поставяне на променливи:**
   
   Нека дължините на катетите са $$ A C = a $$ и $$ B C = b $$. Площта на триъгълника $$ \triangle A B C $$ е:
   $$
   \frac{a \cdot b}{2} = 24 \quad \Rightarrow \quad a \cdot b = 48
   $$
   
2. **Връзка с подобието:**
   
   От част а знаем, че $$ \triangle D H E \sim \triangle A C B $$. Следователно съотношението на съответните страни е константа $$ k $$:
   $$
   \frac{D H}{A C} = \frac{H E}{B C} = k
   $$
   
   Според условието:
   $$
   \frac{D H}{H E} = \frac{3}{4}
   $$
   Тоест:
   $$
   \frac{k a}{k b} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{3}{4}
   $$
   
   Така имаме:
   $$
   a = \frac{3}{4} b
   $$
   
3. **Намиране на $$ a $$ и $$ b $$:**
   
   От уравнението $$ a \cdot b = 48 $$:
   $$
   \left( \frac{3}{4} b \right) \cdot b = 48 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} b^2 = 48 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 48 \cdot \frac{4}{3} = 64 \quad \Rightarrow \quad b = 8 \, \text{см}
   $$
   
   Следователно:
   $$
   a = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \, \text{см}
   $$
   
4. **Отговор:**
   
   Дължините са:
   $$
   A C = 6 \, \text{см}, \quad B C = 8 \, \text{см}
   $$
### Част а) **Доказателство на подобието на триъгълниците $$ \triangle D H E \sim \triangle A C B $$:** 1. В триъгълника $$ \triangle A B C $$, $$ C $$ е прав ъгъл. 2. $$ H $$ е крачката на височината $$ C H $$ към хипотенузата $$ A B $$. 3. $$ H D $$ и $$ H E $$ са ъглополовящи на ъглите $$ \angle A H C $$ и $$ \angle B H C $$ съответно. 4. Съответните ъгли в $$ \triangle D H E $$ са равни на тези в $$ \triangle A C B $$, така че триъгълниците са подобни по критерий AA. ### Част б) **Намиране на дължините на $$ A C $$ и $$ B C $$:** 1. Площта на $$ \triangle A B C $$ е $$ 24 \, \text{см}^2 $$, така че: $$ \frac{A C \cdot B C}{2} = 24 \quad \Rightarrow \quad A C \cdot B C = 48 $$ 2. Съотношението на дължините е $$ A C : B C = 3 : 4 $$, така че: $$ A C = \frac{3}{4} B C $$ 3. Подставяне в уравнението: $$ \frac{3}{4} B C \cdot B C = 48 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} B C^2 = 48 \quad \Rightarrow \quad B C^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad B C = 8 \, \text{см} $$ 4. Следователно: $$ A C = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \, \text{см} $$ **Отговор:** $$ A C = 6 \, \text{см}, \quad B C = 8 \, \text{см} $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Geometry Questions