Question
Determina el valor de \( \lim _{x \rightarrow \infty} x-3-\sqrt{x^{2}+2 \cdot x+1} \)
Ask by Campbell Lindsey. in Mexico
Jan 24,2025
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Answer
La limite est -4.
Solution
Pour déterminer la limite suivante :
\[
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - 3 - \sqrt{x^{2} + 2x + 1} \right)
\]
**Étape 1 : Simplification de l'expression sous la racine**
Commençons par simplifier l'expression sous la racine :
\[
\sqrt{x^{2} + 2x + 1} = \sqrt{(x + 1)^{2}} = |x + 1|
\]
Comme \( x \) tend vers \( +\infty \), \( x + 1 \) est positif. Ainsi,
\[
\sqrt{x^{2} + 2x + 1} = x + 1
\]
**Étape 2 : Substitution dans l'expression originale**
Substituons cette simplification dans l'expression originale :
\[
x - 3 - \sqrt{x^{2} + 2x + 1} = x - 3 - (x + 1)
\]
Simplifions davantage :
\[
x - 3 - x - 1 = -4
\]
**Conclusion**
Ainsi, la limite est :
\[
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - 3 - \sqrt{x^{2} + 2x + 1} \right) = -4
\]
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Para resolver el límite \( \lim _{x \rightarrow \infty} x-3-\sqrt{x^{2}+2 \cdot x+1} \), comenzamos simplificando la expresión en la raíz: \[ \sqrt{x^{2}+2x+1} = \sqrt{(x+1)^{2}} = x + 1 \quad \text{(ya que } x \to \infty\text{)} \] Sustituyendo esto en el límite, obtenemos: \[ \lim _{x \rightarrow \infty} (x - 3 - (x + 1)) = \lim _{x \rightarrow \infty} (x - 3 - x - 1) \] Esto se simplifica a: \[ \lim _{x \rightarrow \infty} (-4) = -4 \] Por lo tanto, el valor del límite es: \[ \boxed{-4} \]
