Exercice 1) Soit $$ \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} $$. Etudier la parité du nombre suivant : $$ n^{2}+11 \boldsymbol{n}+14 $$ 2) Soit $$ \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} $$. On pose $$ \boldsymbol{a}=7^{2 n+2}-7^{2 n} $$ et $$ \boldsymbol{b}=3 imes 7^{n+1}+5 imes 7^{n} $$ a)Montrer que 8 divise $$ a $$ b) Montrer que b est un multiple de 13 c) Décomposer $$ a $$ et $$ b $$ en produit de facteurs premiers. d) Déterminer le plus petit entier naturel $$ n $$ non nul pour que $$ \sqrt{n imes a} \in \mathbb{N} $$ 3) Soit $$ \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} $$. a) Vérifier que $$ \frac{\mathrm{n}+16}{\mathrm{n}+2}=1+\frac{14}{\mathrm{n}+2} $$. b) Déduire les valeurs possible den pour que $$ \frac{\mathrm{n}+16}{\mathrm{n}+2} \in \mathbb{N} $$.

Question

Exercice 1) Soit $$ \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} $$. Etudier la parité du nombre suivant : $$ n^{2}+11 \boldsymbol{n}+14 $$ 2) Soit $$ \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} $$. On pose $$ \boldsymbol{a}=7^{2 n+2}-7^{2 n} $$ et $$ \boldsymbol{b}=3 	imes 7^{n+1}+5 	imes 7^{n} $$ a)Montrer que 8 divise $$ a $$ b) Montrer que b est un multiple de 13 c) Décomposer $$ a $$ et $$ b $$ en produit de facteurs premiers. d) Déterminer le plus petit entier naturel $$ n $$ non nul pour que $$ \sqrt{n 	imes a} \in \mathbb{N} $$ 3) Soit $$ \boldsymbol{n} \in \mathbb{N} $$. a) Vérifier que $$ \frac{\mathrm{n}+16}{\mathrm{n}+2}=1+\frac{14}{\mathrm{n}+2} $$. b) Déduire les valeurs possible den pour que $$ \frac{\mathrm{n}+16}{\mathrm{n}+2} \in \mathbb{N} $$.

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1) Pour étudier la parité de l'expression $$ n^{2} + 11n + 14 $$, nous allons examiner les cas où $$ n $$ est pair et impair.

- Si $$ n $$ est pair, alors $$ n = 2k $$ pour un certain $$ k \in \mathbb{N} $$.
  $$
  n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} \quad \text{(pair)}
  $$
  $$
  11n = 11(2k) = 22k \quad \text{(pair)}
  $$
  $$
  14 \quad \text{(pair)}
  $$
  Donc, $$ n^{2} + 11n + 14 $$ est la somme de trois nombres pairs, ce qui est pair.

- Si $$ n $$ est impair, alors $$ n = 2k + 1 $$ pour un certain $$ k \in \mathbb{N} $$.
  $$
  n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 \quad \text{(impair)}
  $$
  $$
  11n = 11(2k + 1) = 22k + 11 \quad \text{(impair)}
  $$
  $$
  14 \quad \text{(pair)}
  $$
  Donc, $$ n^{2} + 11n + 14 $$ est la somme d'un impair, d'un impair et d'un pair, ce qui est impair.

En conclusion, $$ n^{2} + 11n + 14 $$ est pair si $$ n $$ est pair et impair si $$ n $$ est impair.

2) Soit $$ n \in \mathbb{N} $$. Nous avons $$ a = 7^{2n+2} - 7^{2n} $$ et $$ b = 3 \times 7^{n+1} + 5 \times 7^{n} $$.

a) Pour montrer que 8 divise $$ a $$:
$$
a = 7^{2n+2} - 7^{2n} = 7^{2n}(7^{2} - 1) = 7^{2n}(49 - 1) = 7^{2n} \times 48
$$
Puisque $$ 48 = 8 \times 6 $$, il est clair que $$ 8 $$ divise $$ a $$.

b) Pour montrer que $$ b $$ est un multiple de 13:
$$
b = 3 \times 7^{n+1} + 5 \times 7^{n} = 7^{n}(3 \times 7 + 5) = 7^{n}(21 + 5) = 7^{n} \times 26
$$
Puisque $$ 26 = 2 \times 13 $$, il est clair que $$ b $$ est un multiple de 13.

c) Décomposons $$ a $$ et $$ b $$ en produit de facteurs premiers:
- Pour $$ a $$:
$$
a = 7^{2n} \times 48 = 7^{2n} \times (16 \times 3) = 7^{2n} \times 2^{4} \times 3
$$
- Pour $$ b $$:
$$
b = 7^{n} \times 26 = 7^{n} \times (2 \times 13) = 7^{n} \times 2 \times 13
$$

d) Pour déterminer le plus petit entier naturel $$ n $$ non nul pour que $$ \sqrt{n \times a} \in \mathbb{N} $$:
$$
\sqrt{n \times a} = \sqrt{n \times 7^{2n} \times 48} = \sqrt{n \times 7^{2n} \times 2^{4} \times 3}
$$
Pour que cela soit un entier, $$ n $$ doit être un multiple de $$ 2^{4} $$ et $$ 3 $$. Le plus petit $$ n $$ non nul qui satisfait cela est $$ n = 48 $$.

3) Soit $$ n \in \mathbb{N} $$.

a) Vérifions que $$ \frac{n+16}{n+2} = 1 + \frac{14}{n+2} $$:
$$
\frac{n+16}{n+2} = \frac{(n+2) + 14}{n+2} = 1 + \frac{14}{n+2}
$$
C'est donc vérifié.

b) Pour que $$ \frac{n+16}{n+2} \in \mathbb{N} $$, il faut que $$ n + 16 $$ soit divisible par $$ n + 2 $$. Cela se traduit par $$ 14 $$ devant être divisible par $$ n + 2 $$. Les diviseurs de 14 sont $$ 1, 2, 7, 14 $$. Donc, les valeurs possibles pour $$ n + 2 $$ sont $$ 1, 2, 7, 14 $$, ce qui donne les valeurs possibles pour $$ n $$ :
- $$ n + 2 = 1 $$ : $$ n = -1 $$ (non naturel)
- $$ n + 2 = 2 $$ : $$ n = 0 $$
- $$ n + 2 = 7 $$ : $$ n = 5 $$
- $$ n + 2 = 14 $$ : $$ n = 12 $$

Les valeurs possibles pour $$ n $$ sont donc $$ 0, 5, 12 $$.
1) $$ n^{2} + 11n + 14 $$ est pair si $$ n $$ est pair et impair si $$ n $$ est impair. 2) a) 8 divise $$ a $$. b) $$ b $$ est un multiple de 13. c) $$ a = 7^{2n} \times 2^{4} \times 3 $$ et $$ b = 7^{n} \times 2 \times 13 $$. d) Le plus petit $$ n $$ non nul est $$ 48 $$. 3) a) $$ \frac{n+16}{n+2} = 1 + \frac{14}{n+2} $$ est vérifié. b) Les valeurs possibles pour $$ n $$ sont $$ 0, 5, 12 $$.

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