SUJET 2 Problème ouvert Un agriculteur met des pommes de terre en sacs. En moyenne, $$ 3 \% $$ des pommes de terre présentent un défaut lié à la récolte mécanisée, et qui ne compromet pas la vente. Les pommes de terre sont calibrées et les sacs contiennent le même nombre de pomme de terre. A l'usage, il apparait que $$ 22 \% $$ des sacs ne contiennent que des pommes de terre parfaitement intactes. Combien -y-a-t-il de pommes de terre par sacs?

Question

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Pour déterminer le nombre de pommes de terre par sac, procédons étape par étape.

**Données :**
- Probabilité qu'une pomme de terre soit défectueuse : $$ p = 3\% = 0,03 $$
- Probabilité qu'une pomme de terre soit parfaite : $$ q = 1 - p = 0,97 $$
- Probabilité qu'un sac contienne uniquement des pommes de terre parfaites : $$ 22\% = 0,22 $$

**Calcul :**
Si chaque sac contient $$ n $$ pommes de terre, la probabilité qu'elles soient toutes parfaites est donnée par :
$$
q^n = 0,22
$$
$$
0,97^n = 0,22
$$

Prenons le logarithme naturel des deux côtés de l'équation :
$$
\ln(0,97^n) = \ln(0,22)
$$
$$
n \cdot \ln(0,97) = \ln(0,22)
$$
$$
n = \frac{\ln(0,22)}{\ln(0,97)}
$$

Calculons les valeurs :
$$
\ln(0,22) \approx -1,5141
$$
$$
\ln(0,97) \approx -0,0305
$$
$$
n \approx \frac{-1,5141}{-0,0305} \approx 49,6
$$

Comme $$ n $$ doit être un nombre entier, on arrondit à l'entier le plus proche.

**Conclusion :**
Chaque sac contient **50 pommes de terre**.

**Réponse :**  
Chaque sac contient 50 pommes de terre.
Chaque sac contient 50 pommes de terre.

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